Risolvi x^2+2{left(sqrt{2}div2x-2sqrt{2}right)}^2=8

$${ x }^{ 2 } +2 { \left( \sqrt{ 2 } \div 2x-2 \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } =8$$

Trova x

$$x=2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Esprimi \frac{\sqrt{2}}{2}x come singola frazione.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Per elevare \frac{\sqrt{2}x}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Moltiplica 4 e 2 per ottenere 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Espandi \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividi 2x^{2} per 4 per ottenere \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Moltiplica 2 e \frac{1}{2} per ottenere 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Moltiplica -4 e 2 per ottenere -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Sottrai 8 da 16 per ottenere 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=1\times 4=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -4 come somma.

$$a=-2 b=-2$$

Riscrivi x^{2}-4x+4 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fattori in x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x-2\right)$$

Riscrivi come quadrato del binomio.

$$\left(x-2\right)^{2}$$

Per trovare la soluzione dell'equazione, risolvi x-2=0.

$$x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Esprimi \frac{\sqrt{2}}{2}x come singola frazione.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Per elevare \frac{\sqrt{2}x}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Moltiplica 4 e 2 per ottenere 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Espandi \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividi 2x^{2} per 4 per ottenere \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Moltiplica 2 e \frac{1}{2} per ottenere 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Moltiplica -4 e 2 per ottenere -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x+16-8=0$$

Sottrai 8 da 16 per ottenere 8.

$$2x^{2}-8x+8=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 2 a a, -8 a b e 8 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Eleva -8 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 2\times 8}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 2.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-8\times 8}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per 8.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-64}}{2\times 2}$$

Aggiungi 64 a -64.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{0}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 0.

$$x=-\frac{-8}{2\times 2}$$

L'opposto di -8 è 8.

$$x=\frac{8}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 2.

$$x=\frac{8}{4}$$

Dividi 8 per 4.

$$x=2$$

Procedura per completare il quadrato

Esprimi \frac{\sqrt{2}}{2}x come singola frazione.

$$x^{2}+2\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}=8$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\frac{\sqrt{2}x}{2}-2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$x^{2}+2\left(\left(\frac{\sqrt{2}x}{2}\right)^{2}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Per elevare \frac{\sqrt{2}x}{2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4\times \frac{\sqrt{2}x}{2}\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Annulla il massimo comune divisore 2 in 4 e 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+4\times 2\right)=8$$

Moltiplica 4 e 2 per ottenere 8.

$$x^{2}+2\left(\frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8\right)=8$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-2\sqrt{2}x\sqrt{2}+8.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}x\right)^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Espandi \left(\sqrt{2}x\right)^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{\left(\sqrt{2}\right)^{2}x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{2^{2}}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$x^{2}+2\times \frac{2x^{2}}{4}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Dividi 2x^{2} per 4 per ottenere \frac{1}{2}x^{2}.

$$x^{2}+2\times \frac{1}{2}x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Moltiplica 2 e \frac{1}{2} per ottenere 1.

$$x^{2}+x^{2}-4x\left(\sqrt{2}\right)^{2}+16=8$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$x^{2}+x^{2}-4x\times 2+16=8$$

Moltiplica -4 e 2 per ottenere -8.

$$x^{2}+x^{2}-8x+16=8$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$2x^{2}-8x+16=8$$

Sottrai 16 da entrambi i lati.

$$2x^{2}-8x=8-16$$

Sottrai 16 da 8 per ottenere -8.

$$2x^{2}-8x=-8$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$\frac{2x^{2}-8x}{2}=-\frac{8}{2}$$

La divisione per 2 annulla la moltiplicazione per 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{2}\right)x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x^{2}-4x=-\frac{8}{2}$$

Dividi -8 per 2.

$$x^{2}-4x=-4$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-4+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=-4+4$$

Aggiungi -4 a 4.

$$x^{2}-4x+4=0$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=0$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Semplifica.

$$x-2=0 x-2=0$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2 x=2$$

L'equazione è stata risolta. Le soluzioni sono uguali.

$$x=2$$