Risolvi x^2+18x+77=0

$${ x }^{ 2 } +18x+77=0$$

Trova x

$$x=-11$$

$$x=-7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+18x+77 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=18 ab=77$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 77.

$$1,77 7,11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+77=78 7+11=18$$

La soluzione è la coppia che restituisce 18 come somma.

$$a=7 b=11$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x+7\right)\left(x+11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+7=0 e x+11=0.

$$x=-7 x=-11$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+77. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=18 ab=1\times 77=77$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 77.

$$1,77 7,11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+77=78 7+11=18$$

La soluzione è la coppia che restituisce 18 come somma.

$$a=7 b=11$$

Riscrivi x^{2}+18x+77 come \left(x^{2}+7x\right)+\left(11x+77\right).

$$\left(x^{2}+7x\right)+\left(11x+77\right)$$

Fattori in x nel primo e 11 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+7\right)+11\left(x+7\right)$$

Fattorizza il termine comune x+7 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+7\right)\left(x+11\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+7=0 e x+11=0.

$$x=-7 x=-11$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+18x+77=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 18 a b e 77 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 77}}{2}$$

Eleva 18 al quadrato.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 77}}{2}$$

Moltiplica -4 per 77.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-308}}{2}$$

Aggiungi 324 a -308.

$$x=\frac{-18±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-18±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±4}{2} quando ± è più. Aggiungi -18 a 4.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dividi -14 per 2.

$$x=-7$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da -18.

$$x=-\frac{22}{2}$$

Dividi -22 per 2.

$$x=-11$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-7 x=-11$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+18x+77=0$$

Sottrai 77 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+18x+77-77=-77$$

Sottraendo 77 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+18x=-77$$

Dividi 18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 9. Quindi aggiungi il quadrato di 9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+18x+9^{2}=-77+9^{2}$$

Eleva 9 al quadrato.

$$x^{2}+18x+81=-77+81$$

Aggiungi -77 a 81.

$$x^{2}+18x+81=4$$

Fattore x^{2}+18x+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x+9=2 x+9=-2$$

Sottrai 9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-7 x=-11$$