Risolvi x^2+14x-2352=0

$${ x }^{ 2 } +14x-2352=0$$

Trova x

$$x=-56$$

$$x=42$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}+14x-2352 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=-2352$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-42 b=56$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-42=0 e x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-2352. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=14 ab=1\left(-2352\right)=-2352$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -2352.

$$-1,2352 -2,1176 -3,784 -4,588 -6,392 -7,336 -8,294 -12,196 -14,168 -16,147 -21,112 -24,98 -28,84 -42,56 -48,49$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+2352=2351 -2+1176=1174 -3+784=781 -4+588=584 -6+392=386 -7+336=329 -8+294=286 -12+196=184 -14+168=154 -16+147=131 -21+112=91 -24+98=74 -28+84=56 -42+56=14 -48+49=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 14 come somma.

$$a=-42 b=56$$

Riscrivi x^{2}+14x-2352 come \left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right).

$$\left(x^{2}-42x\right)+\left(56x-2352\right)$$

Fattori in x nel primo e 56 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-42\right)+56\left(x-42\right)$$

Fattorizza il termine comune x-42 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-42\right)\left(x+56\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-42=0 e x+56=0.

$$x=42 x=-56$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 14 a b e -2352 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Eleva 14 al quadrato.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-2352\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -2352.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+9408}}{2}$$

Aggiungi 196 a 9408.

$$x=\frac{-14±\sqrt{9604}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 9604.

$$x=\frac{-14±98}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±98}{2} quando ± è più. Aggiungi -14 a 98.

$$x=\frac{84}{2}$$

Dividi 84 per 2.

$$x=42$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-14±98}{2} quando ± è meno. Sottrai 98 da -14.

$$x=-\frac{112}{2}$$

Dividi -112 per 2.

$$x=-56$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=42 x=-56$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+14x-2352=0$$

Aggiungi 2352 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+14x-2352-\left(-2352\right)=-\left(-2352\right)$$

Sottraendo -2352 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+14x=-\left(-2352\right)$$

Sottrai -2352 da 0.

$$x^{2}+14x=2352$$

Dividi 14, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 7. Quindi aggiungi il quadrato di 7 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+14x+7^{2}=2352+7^{2}$$

Eleva 7 al quadrato.

$$x^{2}+14x+49=2352+49$$

Aggiungi 2352 a 49.

$$x^{2}+14x+49=2401$$

Fattore x^{2}+14x+49. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+7\right)^{2}=2401$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+7\right)^{2}}=\sqrt{2401}$$

Semplifica.

$$x+7=49 x+7=-49$$

Sottrai 7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=42 x=-56$$