Risolvi x^2+10x+21=0

$${ x }^{ 2 } +10x+21 = 0$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x=-3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, fattorizzare x^{2}+10x+21 usando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=21$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 21.

$$1,21 3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+21=22 3+7=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=3 b=7$$

Riscrivere l'espressione fattorizzata \left(x+a\right)\left(x+b\right) usando i valori ottenuti.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+3=0 e x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+21. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=10 ab=1\times 21=21$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 21.

$$1,21 3,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+21=22 3+7=10$$

La soluzione è la coppia che restituisce 10 come somma.

$$a=3 b=7$$

Riscrivi x^{2}+10x+21 come \left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right).

$$\left(x^{2}+3x\right)+\left(7x+21\right)$$

Fattorizza x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(x+3\right)+7\left(x+3\right)$$

Fattorizzare il termine comune x+3 usando la proprietà distributiva.

$$\left(x+3\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazioni, Risolvi x+3=0 e x+7=0.

$$x=-3 x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, 10 a b e 21 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 21}}{2}$$

Eleva 10 al quadrato.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 21}}{2}$$

Moltiplica -4 per 21.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-84}}{2}$$

Aggiungi 100 a -84.

$$x=\frac{-10±\sqrt{16}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-10±4}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±4}{2} quando ± è più. Aggiungi -10 a 4.

$$x=-\frac{6}{2}$$

Dividi -6 per 2.

$$x=-3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-10±4}{2} quando ± è meno. Sottrai 4 da -10.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dividi -14 per 2.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-3 x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+10x+21=0$$

Sottrai 21 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x^{2}+10x+21-21=-21$$

Sottraendo 21 da se stesso rimane 0.

$$x^{2}+10x=-21$$

Dividi 10, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere 5. Quindi aggiungi il quadrato di 5 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+10x+5^{2}=-21+5^{2}$$

Eleva 5 al quadrato.

$$x^{2}+10x+25=-21+25$$

Aggiungi -21 a 25.

$$x^{2}+10x+25=4$$

Scomponi x^{2}+10x+25 in fattori. In generale, se x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomposto in fattori così \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=4$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Semplifica.

$$x+5=2 x+5=-2$$

Sottrai 5 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-3 x=-7$$