Risolvi x^2+left(-3x+10right)^2=20

$${ x }^{ 2 } + { \left(-3x+10 \right) }^{ 2 } =20$$

Trova x

$$x=2$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Sottrai 20 da 100 per ottenere 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$x^{2}-6x+8=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+8. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=1\times 8=8$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

La soluzione è la coppia che restituisce -6 come somma.

$$a=-4 b=-2$$

Riscrivi x^{2}-6x+8 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-2x+8\right)$$

Fattori in x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)-2\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x-2=0.

$$x=4 x=2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Sottrai 20 da entrambi i lati.

$$10x^{2}-60x+100-20=0$$

Sottrai 20 da 100 per ottenere 80.

$$10x^{2}-60x+80=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 10 a a, -60 a b e 80 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{\left(-60\right)^{2}-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Eleva -60 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-4\times 10\times 80}}{2\times 10}$$

Moltiplica -4 per 10.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-40\times 80}}{2\times 10}$$

Moltiplica -40 per 80.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{3600-3200}}{2\times 10}$$

Aggiungi 3600 a -3200.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±\sqrt{400}}{2\times 10}$$

Calcola la radice quadrata di 400.

$$x=\frac{-\left(-60\right)±20}{2\times 10}$$

L'opposto di -60 è 60.

$$x=\frac{60±20}{2\times 10}$$

Moltiplica 2 per 10.

$$x=\frac{60±20}{20}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{60±20}{20} quando ± è più. Aggiungi 60 a 20.

$$x=\frac{80}{20}$$

Dividi 80 per 20.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{60±20}{20} quando ± è meno. Sottrai 20 da 60.

$$x=\frac{40}{20}$$

Dividi 40 per 20.

$$x=2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=2$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-3x+10\right)^{2}.

$$x^{2}+9x^{2}-60x+100=20$$

Combina x^{2} e 9x^{2} per ottenere 10x^{2}.

$$10x^{2}-60x+100=20$$

Sottrai 100 da entrambi i lati.

$$10x^{2}-60x=20-100$$

Sottrai 100 da 20 per ottenere -80.

$$10x^{2}-60x=-80$$

Dividi entrambi i lati per 10.

$$\frac{10x^{2}-60x}{10}=-\frac{80}{10}$$

La divisione per 10 annulla la moltiplicazione per 10.

$$x^{2}+\left(-\frac{60}{10}\right)x=-\frac{80}{10}$$

Dividi -60 per 10.

$$x^{2}-6x=-\frac{80}{10}$$

Dividi -80 per 10.

$$x^{2}-6x=-8$$

Dividi -6, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -3. Quindi aggiungi il quadrato di -3 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-8+\left(-3\right)^{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x^{2}-6x+9=-8+9$$

Aggiungi -8 a 9.

$$x^{2}-6x+9=1$$

Fattore x^{2}-6x+9. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x-3=1 x-3=-1$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=2$$