Risolvi t^2-109t+900=0

$${ t }^{ 2 } -109t+900 = 0$$

Trova t

$$t=9$$

$$t=100$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore t^{2}-109t+900 utilizzando la formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-109 ab=900$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

La soluzione è la coppia che restituisce -109 come somma.

$$a=-100 b=-9$$

Riscrivi scomposte espressione \left(t+a\right)\left(t+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-100=0 e t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come t^{2}+at+bt+900. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-109 ab=1\times 900=900$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 900.

$$-1,-900 -2,-450 -3,-300 -4,-225 -5,-180 -6,-150 -9,-100 -10,-90 -12,-75 -15,-60 -18,-50 -20,-45 -25,-36 -30,-30$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-900=-901 -2-450=-452 -3-300=-303 -4-225=-229 -5-180=-185 -6-150=-156 -9-100=-109 -10-90=-100 -12-75=-87 -15-60=-75 -18-50=-68 -20-45=-65 -25-36=-61 -30-30=-60$$

La soluzione è la coppia che restituisce -109 come somma.

$$a=-100 b=-9$$

Riscrivi t^{2}-109t+900 come \left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right).

$$\left(t^{2}-100t\right)+\left(-9t+900\right)$$

Fattori in t nel primo e -9 nel secondo gruppo.

$$t\left(t-100\right)-9\left(t-100\right)$$

Fattorizza il termine comune t-100 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(t-100\right)\left(t-9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere t-100=0 e t-9=0.

$$t=100 t=9$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -109 a b e 900 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{\left(-109\right)^{2}-4\times 900}}{2}$$

Eleva -109 al quadrato.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-4\times 900}}{2}$$

Moltiplica -4 per 900.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{11881-3600}}{2}$$

Aggiungi 11881 a -3600.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±\sqrt{8281}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 8281.

$$t=\frac{-\left(-109\right)±91}{2}$$

L'opposto di -109 è 109.

$$t=\frac{109±91}{2}$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{109±91}{2} quando ± è più. Aggiungi 109 a 91.

$$t=\frac{200}{2}$$

Dividi 200 per 2.

$$t=100$$

Ora risolvi l'equazione t=\frac{109±91}{2} quando ± è meno. Sottrai 91 da 109.

$$t=\frac{18}{2}$$

Dividi 18 per 2.

$$t=9$$

L'equazione è stata risolta.

$$t=100 t=9$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-109t+900=0$$

Sottrai 900 da entrambi i lati dell'equazione.

$$t^{2}-109t+900-900=-900$$

Sottraendo 900 da se stesso rimane 0.

$$t^{2}-109t=-900$$

Dividi -109, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{109}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{109}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$t^{2}-109t+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}=-900+\left(-\frac{109}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{109}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=-900+\frac{11881}{4}$$

Aggiungi -900 a \frac{11881}{4}.

$$t^{2}-109t+\frac{11881}{4}=\frac{8281}{4}$$

Fattore t^{2}-109t+\frac{11881}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}=\frac{8281}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(t-\frac{109}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8281}{4}}$$

Semplifica.

$$t-\frac{109}{2}=\frac{91}{2} t-\frac{109}{2}=-\frac{91}{2}$$

Aggiungi \frac{109}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$t=100 t=9$$