Risolvi r^2-23r+24=0

$${ r }^{ 2 } -23r+24=0$$

Trova r

$$r = \frac{\sqrt{433} + 23}{2} \approx 21,904326023$$

$$r = \frac{23 - \sqrt{433}}{2} \approx 1,095673977$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$r^{2}-23r+24=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -23 a b e 24 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{\left(-23\right)^{2}-4\times 24}}{2}$$

Eleva -23 al quadrato.

$$r=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-4\times 24}}{2}$$

Moltiplica -4 per 24.

$$r=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{529-96}}{2}$$

Aggiungi 529 a -96.

$$r=\frac{-\left(-23\right)±\sqrt{433}}{2}$$

L'opposto di -23 è 23.

$$r=\frac{23±\sqrt{433}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{23±\sqrt{433}}{2} quando ± è più. Aggiungi 23 a \sqrt{433}.

$$r=\frac{\sqrt{433}+23}{2}$$

Ora risolvi l'equazione r=\frac{23±\sqrt{433}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{433} da 23.

$$r=\frac{23-\sqrt{433}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$r=\frac{\sqrt{433}+23}{2} r=\frac{23-\sqrt{433}}{2}$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-23r+24=0$$

Sottrai 24 da entrambi i lati dell'equazione.

$$r^{2}-23r+24-24=-24$$

Sottraendo 24 da se stesso rimane 0.

$$r^{2}-23r=-24$$

Dividi -23, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{23}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{23}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$r^{2}-23r+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-24+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{23}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$r^{2}-23r+\frac{529}{4}=-24+\frac{529}{4}$$

Aggiungi -24 a \frac{529}{4}.

$$r^{2}-23r+\frac{529}{4}=\frac{433}{4}$$

Fattore r^{2}-23r+\frac{529}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(r-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{433}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(r-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{433}{4}}$$

Semplifica.

$$r-\frac{23}{2}=\frac{\sqrt{433}}{2} r-\frac{23}{2}=-\frac{\sqrt{433}}{2}$$

Aggiungi \frac{23}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$r=\frac{\sqrt{433}+23}{2} r=\frac{23-\sqrt{433}}{2}$$