Risolvi n^2-41n+400=0

$${ n }^{ 2 } -41n+400 = 0$$

Trova n

$$n=16$$

$$n=25$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori

Per risolvere l'equazione, il fattore n^{2}-41n+400 utilizzando la formula n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=400$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-25 b=-16$$

Riscrivi scomposte espressione \left(n+a\right)\left(n+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(n-25\right)\left(n-16\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-25=0 e n-16=0.

$$n=25 n=16$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come n^{2}+an+bn+400. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-41 ab=1\times 400=400$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 400.

$$-1,-400 -2,-200 -4,-100 -5,-80 -8,-50 -10,-40 -16,-25 -20,-20$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-400=-401 -2-200=-202 -4-100=-104 -5-80=-85 -8-50=-58 -10-40=-50 -16-25=-41 -20-20=-40$$

La soluzione è la coppia che restituisce -41 come somma.

$$a=-25 b=-16$$

Riscrivi n^{2}-41n+400 come \left(n^{2}-25n\right)+\left(-16n+400\right).

$$\left(n^{2}-25n\right)+\left(-16n+400\right)$$

Fattori in n nel primo e -16 nel secondo gruppo.

$$n\left(n-25\right)-16\left(n-25\right)$$

Fattorizza il termine comune n-25 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(n-25\right)\left(n-16\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere n-25=0 e n-16=0.

$$n=25 n=16$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$n^{2}-41n+400=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -41 a b e 400 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 400}}{2}$$

Eleva -41 al quadrato.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 400}}{2}$$

Moltiplica -4 per 400.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1600}}{2}$$

Aggiungi 1681 a -1600.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{81}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 81.

$$n=\frac{-\left(-41\right)±9}{2}$$

L'opposto di -41 è 41.

$$n=\frac{41±9}{2}$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{41±9}{2} quando ± è più. Aggiungi 41 a 9.

$$n=\frac{50}{2}$$

Dividi 50 per 2.

$$n=25$$

Ora risolvi l'equazione n=\frac{41±9}{2} quando ± è meno. Sottrai 9 da 41.

$$n=\frac{32}{2}$$

Dividi 32 per 2.

$$n=16$$

L'equazione è stata risolta.

$$n=25 n=16$$

Procedura per completare il quadrato

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-41n+400=0$$

Sottrai 400 da entrambi i lati dell'equazione.

$$n^{2}-41n+400-400=-400$$

Sottraendo 400 da se stesso rimane 0.

$$n^{2}-41n=-400$$

Dividi -41, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{41}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{41}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$n^{2}-41n+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}=-400+\left(-\frac{41}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{41}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$n^{2}-41n+\frac{1681}{4}=-400+\frac{1681}{4}$$

Aggiungi -400 a \frac{1681}{4}.

$$n^{2}-41n+\frac{1681}{4}=\frac{81}{4}$$

Fattore n^{2}-41n+\frac{1681}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{41}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(n-\frac{41}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Semplifica.

$$n-\frac{41}{2}=\frac{9}{2} n-\frac{41}{2}=-\frac{9}{2}$$

Aggiungi \frac{41}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$n=25 n=16$$