Risolvi 4^2-4x(5-x)=0

$${ 4 }^{ 2 } -4x(5-x)=0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -4x per 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$4-5x+x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}-5x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=1\times 4=4$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 4.

$$-1,-4 -2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-4=-5 -2-2=-4$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-4 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-5x+4 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(-x+4\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)-\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x-1=0.

$$x=4 x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -4x per 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$4x^{2}-20x+16=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -20 a b e 16 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Eleva -20 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 4\times 16}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-16\times 16}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 16.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-256}}{2\times 4}$$

Aggiungi 400 a -256.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 144.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±12}{2\times 4}$$

L'opposto di -20 è 20.

$$x=\frac{20±12}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{20±12}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±12}{8} quando ± è più. Aggiungi 20 a 12.

$$x=\frac{32}{8}$$

Dividi 32 per 8.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±12}{8} quando ± è meno. Sottrai 12 da 20.

$$x=\frac{8}{8}$$

Dividi 8 per 8.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$16-4x\left(5-x\right)=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -4x per 5-x.

$$16-20x+4x^{2}=0$$

Sottrai 16 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-20x+4x^{2}=-16$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-20x=-16$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-20x}{4}=-\frac{16}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{4}\right)x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -20 per 4.

$$x^{2}-5x=-\frac{16}{4}$$

Dividi -16 per 4.

$$x^{2}-5x=-4$$

Dividi -5, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{5}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-4+\frac{25}{4}$$

Aggiungi -4 a \frac{25}{4}.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{9}{4}$$

Fattore x^{2}-5x+\frac{25}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{3}{2}$$

Aggiungi \frac{5}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=1$$