Risolvi left(x+3right)^3-x^3=279

$${ \left(x+3 \right) }^{ 3 } - { x }^{ 3 } =279$$

Trova x

$$x=-7$$

$$x=4$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Combina x^{3} e -x^{3} per ottenere 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Sottrai 279 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

Sottrai 279 da 27 per ottenere -252.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$x^{2}+3x-28=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-28. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=3 ab=1\left(-28\right)=-28$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -28.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

La soluzione è la coppia che restituisce 3 come somma.

$$a=-4 b=7$$

Riscrivi x^{2}+3x-28 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(7x-28\right)$$

Fattori in x nel primo e 7 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-4\right)+7\left(x-4\right)$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+7\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+7=0.

$$x=4 x=-7$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Combina x^{3} e -x^{3} per ottenere 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Sottrai 279 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+27x+27-279=0$$

Sottrai 279 da 27 per ottenere -252.

$$9x^{2}+27x-252=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 9 a a, 27 a b e -252 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-27±\sqrt{27^{2}-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Eleva 27 al quadrato.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-4\times 9\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -4 per 9.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729-36\left(-252\right)}}{2\times 9}$$

Moltiplica -36 per -252.

$$x=\frac{-27±\sqrt{729+9072}}{2\times 9}$$

Aggiungi 729 a 9072.

$$x=\frac{-27±\sqrt{9801}}{2\times 9}$$

Calcola la radice quadrata di 9801.

$$x=\frac{-27±99}{2\times 9}$$

Moltiplica 2 per 9.

$$x=\frac{-27±99}{18}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-27±99}{18} quando ± è più. Aggiungi -27 a 99.

$$x=\frac{72}{18}$$

Dividi 72 per 18.

$$x=4$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-27±99}{18} quando ± è meno. Sottrai 99 da -27.

$$x=-\frac{126}{18}$$

Dividi -126 per 18.

$$x=-7$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=4 x=-7$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3} per espandere \left(x+3\right)^{3}.

$$x^{3}+9x^{2}+27x+27-x^{3}=279$$

Combina x^{3} e -x^{3} per ottenere 0.

$$9x^{2}+27x+27=279$$

Sottrai 27 da entrambi i lati.

$$9x^{2}+27x=279-27$$

Sottrai 27 da 279 per ottenere 252.

$$9x^{2}+27x=252$$

Dividi entrambi i lati per 9.

$$\frac{9x^{2}+27x}{9}=\frac{252}{9}$$

La divisione per 9 annulla la moltiplicazione per 9.

$$x^{2}+\frac{27}{9}x=\frac{252}{9}$$

Dividi 27 per 9.

$$x^{2}+3x=\frac{252}{9}$$

Dividi 252 per 9.

$$x^{2}+3x=28$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=28+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=28+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 28 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{121}{4}$$

Fattore x^{2}+3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Semplifica.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{11}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=4 x=-7$$