Risolvi left(x+14right)^2-left(x+11right)^2=left(x-6right)^2

$${ \left(x+14 \right) }^{ 2 } - { \left(x+11 \right) }^{ 2 } = { \left(x-6 \right) }^{ 2 }$$

Trova x

$$x=2\sqrt{30}+9\approx 19,95445115$$

$$x=9-2\sqrt{30}\approx -1,95445115$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+22x+121, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina 28x e -22x per ottenere 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Sottrai 121 da 196 per ottenere 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Aggiungi 12x a entrambi i lati.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combina 6x e 12x per ottenere 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Sottrai 36 da entrambi i lati.

$$18x+75-x^{2}-36=0$$

Sottrai 36 da 75 per ottenere 39.

$$18x+39-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+18x+39=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 18 a b e 39 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 18 al quadrato.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\left(-1\right)\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+4\times 39}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per 39.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+156}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 324 a 156.

$$x=\frac{-18±\sqrt{480}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 480.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} quando ± è più. Aggiungi -18 a 4\sqrt{30}.

$$x=\frac{4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dividi -18+4\sqrt{30} per -2.

$$x=9-2\sqrt{30}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-18±4\sqrt{30}}{-2} quando ± è meno. Sottrai 4\sqrt{30} da -18.

$$x=\frac{-4\sqrt{30}-18}{-2}$$

Dividi -18-4\sqrt{30} per -2.

$$x=2\sqrt{30}+9$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=9-2\sqrt{30} x=2\sqrt{30}+9$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+14\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x+11\right)^{2}=\left(x-6\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+11\right)^{2}.

$$x^{2}+28x+196-\left(x^{2}+22x+121\right)=\left(x-6\right)^{2}$$

Per trovare l'opposto di x^{2}+22x+121, trova l'opposto di ogni termine.

$$x^{2}+28x+196-x^{2}-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$28x+196-22x-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Combina 28x e -22x per ottenere 6x.

$$6x+196-121=\left(x-6\right)^{2}$$

Sottrai 121 da 196 per ottenere 75.

$$6x+75=\left(x-6\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-6\right)^{2}.

$$6x+75=x^{2}-12x+36$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$6x+75-x^{2}=-12x+36$$

Aggiungi 12x a entrambi i lati.

$$6x+75-x^{2}+12x=36$$

Combina 6x e 12x per ottenere 18x.

$$18x+75-x^{2}=36$$

Sottrai 75 da entrambi i lati.

$$18x-x^{2}=36-75$$

Sottrai 75 da 36 per ottenere -39.

$$18x-x^{2}=-39$$

Le equazioni di secondo grado come questa possono essere risolte completando il quadrato. Per completare il quadrato, l'equazione deve essere prima convertita nel formato x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+18x=-39$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-x^{2}+18x}{-1}=-\frac{39}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$x^{2}+\frac{18}{-1}x=-\frac{39}{-1}$$

Dividi 18 per -1.

$$x^{2}-18x=-\frac{39}{-1}$$

Dividi -39 per -1.

$$x^{2}-18x=39$$

Dividi -18, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -9. Quindi aggiungi il quadrato di -9 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-18x+\left(-9\right)^{2}=39+\left(-9\right)^{2}$$

Eleva -9 al quadrato.

$$x^{2}-18x+81=39+81$$

Aggiungi 39 a 81.

$$x^{2}-18x+81=120$$

Fattore x^{2}-18x+81. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-9\right)^{2}=120$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-9\right)^{2}}=\sqrt{120}$$

Semplifica.

$$x-9=2\sqrt{30} x-9=-2\sqrt{30}$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=2\sqrt{30}+9 x=9-2\sqrt{30}$$