Risolvi left(5x+1right)^2-3(5x+1)-4=0

$${ \left(5x+1 \right) }^{ 2 } -3(5x+1)-4=0$$

Trova x

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=\frac{3}{5}=0,6$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -3 per 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combina 10x e -15x per ottenere -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Sottrai 4 da -2 per ottenere -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 25x^{2}+ax+bx-6. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-5 ab=25\left(-6\right)=-150$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -150.

$$1,-150 2,-75 3,-50 5,-30 6,-25 10,-15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-150=-149 2-75=-73 3-50=-47 5-30=-25 6-25=-19 10-15=-5$$

La soluzione è la coppia che restituisce -5 come somma.

$$a=-15 b=10$$

Riscrivi 25x^{2}-5x-6 come \left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right).

$$\left(25x^{2}-15x\right)+\left(10x-6\right)$$

Fattori in 5x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$5x\left(5x-3\right)+2\left(5x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune 5x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(5x-3\right)\left(5x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere 5x-3=0 e 5x+2=0.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -3 per 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combina 10x e -15x per ottenere -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Sottrai 4 da -2 per ottenere -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 25 a a, -5 a b e -6 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Eleva -5 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 25\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -4 per 25.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-100\left(-6\right)}}{2\times 25}$$

Moltiplica -100 per -6.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+600}}{2\times 25}$$

Aggiungi 25 a 600.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{625}}{2\times 25}$$

Calcola la radice quadrata di 625.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±25}{2\times 25}$$

L'opposto di -5 è 5.

$$x=\frac{5±25}{2\times 25}$$

Moltiplica 2 per 25.

$$x=\frac{5±25}{50}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±25}{50} quando ± è più. Aggiungi 5 a 25.

$$x=\frac{30}{50}$$

Riduci la frazione \frac{30}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=\frac{3}{5}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{5±25}{50} quando ± è meno. Sottrai 25 da 5.

$$x=-\frac{20}{50}$$

Riduci la frazione \frac{-20}{50} ai minimi termini estraendo e annullando 10.

$$x=-\frac{2}{5}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(5x+1\right)^{2}.

$$25x^{2}+10x+1-3\left(5x+1\right)-4=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare -3 per 5x+1.

$$25x^{2}+10x+1-15x-3-4=0$$

Combina 10x e -15x per ottenere -5x.

$$25x^{2}-5x+1-3-4=0$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$25x^{2}-5x-2-4=0$$

Sottrai 4 da -2 per ottenere -6.

$$25x^{2}-5x-6=0$$

Aggiungi 6 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$25x^{2}-5x=6$$

Dividi entrambi i lati per 25.

$$\frac{25x^{2}-5x}{25}=\frac{6}{25}$$

La divisione per 25 annulla la moltiplicazione per 25.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{25}\right)x=\frac{6}{25}$$

Riduci la frazione \frac{-5}{25} ai minimi termini estraendo e annullando 5.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x=\frac{6}{25}$$

Dividi -\frac{1}{5}, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{1}{10}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{6}{25}+\left(-\frac{1}{10}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{10} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{6}{25}+\frac{1}{100}$$

Aggiungi \frac{6}{25} a \frac{1}{100} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}=\frac{1}{4}$$

Fattore x^{2}-\frac{1}{5}x+\frac{1}{100}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{10}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{1}{10}=\frac{1}{2} x-\frac{1}{10}=-\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{1}{10} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{3}{5} x=-\frac{2}{5}$$