Risolvi left(2x-5right)^2+x^2+6(2x-5)-12x+20=0

$${ \left(2x-5 \right) }^{ 2 } + { x }^{ 2 } +6(2x-5)-12x+20=0$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=3$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combina -20x e 12x per ottenere -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Sottrai 30 da 25 per ottenere -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combina -8x e -12x per ottenere -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

E -5 e 20 per ottenere 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x^{2}-4x+3=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+3. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-4 ab=1\times 3=3$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-3 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-4x+3 come \left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-x+3\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-3\right)-\left(x-3\right)$$

Fattorizza il termine comune x-3 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-3=0 e x-1=0.

$$x=3 x=1$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combina -20x e 12x per ottenere -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Sottrai 30 da 25 per ottenere -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combina -8x e -12x per ottenere -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

E -5 e 20 per ottenere 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 5 a a, -20 a b e 15 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{\left(-20\right)^{2}-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Eleva -20 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-4\times 5\times 15}}{2\times 5}$$

Moltiplica -4 per 5.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-20\times 15}}{2\times 5}$$

Moltiplica -20 per 15.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{400-300}}{2\times 5}$$

Aggiungi 400 a -300.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±\sqrt{100}}{2\times 5}$$

Calcola la radice quadrata di 100.

$$x=\frac{-\left(-20\right)±10}{2\times 5}$$

L'opposto di -20 è 20.

$$x=\frac{20±10}{2\times 5}$$

Moltiplica 2 per 5.

$$x=\frac{20±10}{10}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±10}{10} quando ± è più. Aggiungi 20 a 10.

$$x=\frac{30}{10}$$

Dividi 30 per 10.

$$x=3$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{20±10}{10} quando ± è meno. Sottrai 10 da 20.

$$x=\frac{10}{10}$$

Dividi 10 per 10.

$$x=1$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=3 x=1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-5\right)^{2}.

$$4x^{2}-20x+25+x^{2}+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Combina 4x^{2} e x^{2} per ottenere 5x^{2}.

$$5x^{2}-20x+25+6\left(2x-5\right)-12x+20=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 6 per 2x-5.

$$5x^{2}-20x+25+12x-30-12x+20=0$$

Combina -20x e 12x per ottenere -8x.

$$5x^{2}-8x+25-30-12x+20=0$$

Sottrai 30 da 25 per ottenere -5.

$$5x^{2}-8x-5-12x+20=0$$

Combina -8x e -12x per ottenere -20x.

$$5x^{2}-20x-5+20=0$$

E -5 e 20 per ottenere 15.

$$5x^{2}-20x+15=0$$

Sottrai 15 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$5x^{2}-20x=-15$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$\frac{5x^{2}-20x}{5}=-\frac{15}{5}$$

La divisione per 5 annulla la moltiplicazione per 5.

$$x^{2}+\left(-\frac{20}{5}\right)x=-\frac{15}{5}$$

Dividi -20 per 5.

$$x^{2}-4x=-\frac{15}{5}$$

Dividi -15 per 5.

$$x^{2}-4x=-3$$

Dividi -4, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -2. Quindi aggiungi il quadrato di -2 a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-3+\left(-2\right)^{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x^{2}-4x+4=-3+4$$

Aggiungi -3 a 4.

$$x^{2}-4x+4=1$$

Fattore x^{2}-4x+4. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=1$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Semplifica.

$$x-2=1 x-2=-1$$

Aggiungi 2 a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3 x=1$$