Risolvi left(2x-3right)^2=49

$${ \left(2x-3 \right) }^{ 2 } =49$$

Trova x

$$x=5$$

$$x=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Sottrai 49 da 9 per ottenere -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-3x-10=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-10. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\left(-10\right)=-10$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -10.

$$1,-10 2,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-5 b=2$$

Riscrivi x^{2}-3x-10 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(2x-10\right)$$

Fattori in x nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x+2=0.

$$x=5 x=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x+9-49=0$$

Sottrai 49 da 9 per ottenere -40.

$$4x^{2}-12x-40=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -12 a b e -40 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -12 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 4\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-16\left(-40\right)}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per -40.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+640}}{2\times 4}$$

Aggiungi 144 a 640.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{784}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 784.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±28}{2\times 4}$$

L'opposto di -12 è 12.

$$x=\frac{12±28}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{12±28}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±28}{8} quando ± è più. Aggiungi 12 a 28.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividi 40 per 8.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{12±28}{8} quando ± è meno. Sottrai 28 da 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Dividi -16 per 8.

$$x=-2$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=-2$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-3\right)^{2}.

$$4x^{2}-12x+9=49$$

Sottrai 9 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-12x=49-9$$

Sottrai 9 da 49 per ottenere 40.

$$4x^{2}-12x=40$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-12x}{4}=\frac{40}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{12}{4}\right)x=\frac{40}{4}$$

Dividi -12 per 4.

$$x^{2}-3x=\frac{40}{4}$$

Dividi 40 per 4.

$$x^{2}-3x=10$$

Dividi -3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=10+\frac{9}{4}$$

Aggiungi 10 a \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{49}{4}$$

Fattore x^{2}-3x+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{7}{2}$$

Aggiungi \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=-2$$