Risolvi {left(1+sqrt{2}right)}^2{left(1-sqrt{2}right)}^2{left(1+sqrt{3}right)}^2{left(1-sqrt{3}right)}^2

$${ \left(1+ \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } { \left(1- \sqrt{ 2 } \right) }^{ 2 } { \left(1+ \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 } { \left(1- \sqrt{ 3 } \right) }^{ 2 }$$

Calcola

$$4$$

Procedura della soluzione

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(1+\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(1+2\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\left(1+2\sqrt{2}+2\right)\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)^{2}\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(1-2\sqrt{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(1-2\sqrt{2}+2\right)\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

E 1 e 2 per ottenere 3.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(1+\sqrt{3}\right)^{2}\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(1+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(1+2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(1+2\sqrt{3}+3\right)\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

E 1 e 3 per ottenere 4.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(1-2\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}\right)$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(1-2\sqrt{3}+3\right)$$

E 1 e 3 per ottenere 4.

$$\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3+2\sqrt{2} per 3-2\sqrt{2} e combinare i termini simili.

$$\left(9-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$\left(9-4\times 2\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Moltiplica -4 e 2 per ottenere -8.

$$\left(9-8\right)\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Sottrai 8 da 9 per ottenere 1.

$$1\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 1 per 4+2\sqrt{3}.

$$\left(4+2\sqrt{3}\right)\left(4-2\sqrt{3}\right)$$

La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. Eleva 4 al quadrato.

$$16-\left(2\sqrt{3}\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{3}\right)^{2}.

$$16-2^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$16-4\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$16-4\times 3$$

Moltiplica 4 e 3 per ottenere 12.

$$16-12$$

Sottrai 12 da 16 per ottenere 4.

$$4$$

Scomponi in fattori

$$2^{2}$$