Risolvi {left(x-2/5x+2right)}^-1={left(x/x+40right)}^-1

$${ \left( \frac{ x-2 }{ 5x+2 } \right) }^{ -1 } = { \left( \frac{ x }{ x+40 } \right) }^{ -1 }$$

Trova x

$$x=4$$

$$x=5$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Per elevare \frac{x-2}{5x+2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\left(\frac{x}{x+40}\right)^{-1}$$

Per elevare \frac{x}{x+40} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}$$

Sottrai \frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}} da entrambi i lati.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}-\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}=0$$

Riordina i termini.

$$\frac{1}{\frac{1}{5x+2}\left(x-2\right)}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{5x+2}\left(x-2\right) come singola frazione.

$$\frac{1}{\frac{x-2}{5x+2}}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -\frac{2}{5} perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x-2}{5x+2} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x-2}{5x+2}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{x+40}x come singola frazione.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{x}{x+40}}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -40 perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x}{x+40} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x}{x+40}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{x+40}{x}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-2 e x è x\left(x-2\right). Moltiplica \frac{5x+2}{x-2} per \frac{x}{x}. Moltiplica \frac{x+40}{x} per \frac{x-2}{x-2}.

$$\frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Poiché \frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)} e \frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right).

$$\frac{5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Unisci i termini come in 5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-2.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x^{2}-2x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-2\right).

$$4x^{2}-36x+80=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-9x+20=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+20. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-9 ab=1\times 20=20$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 20.

$$-1,-20 -2,-10 -4,-5$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-20=-21 -2-10=-12 -4-5=-9$$

La soluzione è la coppia che restituisce -9 come somma.

$$a=-5 b=-4$$

Riscrivi x^{2}-9x+20 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(-4x+20\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-4x+20\right)$$

Fattori in x nel primo e -4 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)-4\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-4\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x-4=0.

$$x=5 x=4$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per elevare \frac{x-2}{5x+2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\left(\frac{x}{x+40}\right)^{-1}$$

Per elevare \frac{x}{x+40} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}$$

Sottrai \frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}} da entrambi i lati.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}-\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}=0$$

Riordina i termini.

$$\frac{1}{\frac{1}{5x+2}\left(x-2\right)}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{5x+2}\left(x-2\right) come singola frazione.

$$\frac{1}{\frac{x-2}{5x+2}}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -\frac{2}{5} perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x-2}{5x+2} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x-2}{5x+2}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{x+40}x come singola frazione.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{x}{x+40}}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -40 perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x}{x+40} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x}{x+40}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{x+40}{x}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-2 e x è x\left(x-2\right). Moltiplica \frac{5x+2}{x-2} per \frac{x}{x}. Moltiplica \frac{x+40}{x} per \frac{x-2}{x-2}.

$$\frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Poiché \frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)} e \frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right).

$$\frac{5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Unisci i termini come in 5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-2.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x^{2}-2x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-2\right).

$$4x^{2}-36x+80=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 4 a a, -36 a b e 80 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 4\times 80}}{2\times 4}$$

Eleva -36 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 4\times 80}}{2\times 4}$$

Moltiplica -4 per 4.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-16\times 80}}{2\times 4}$$

Moltiplica -16 per 80.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-1280}}{2\times 4}$$

Aggiungi 1296 a -1280.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{16}}{2\times 4}$$

Calcola la radice quadrata di 16.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±4}{2\times 4}$$

L'opposto di -36 è 36.

$$x=\frac{36±4}{2\times 4}$$

Moltiplica 2 per 4.

$$x=\frac{36±4}{8}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±4}{8} quando ± è più. Aggiungi 36 a 4.

$$x=\frac{40}{8}$$

Dividi 40 per 8.

$$x=5$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{36±4}{8} quando ± è meno. Sottrai 4 da 36.

$$x=\frac{32}{8}$$

Dividi 32 per 8.

$$x=4$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=5 x=4$$

Procedura per completare il quadrato

Per elevare \frac{x-2}{5x+2} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\left(\frac{x}{x+40}\right)^{-1}$$

Per elevare \frac{x}{x+40} a potenza, eleva a potenza numeratore e denominatore e poi dividi.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}=\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}$$

Sottrai \frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}} da entrambi i lati.

$$\frac{\left(x-2\right)^{-1}}{\left(5x+2\right)^{-1}}-\frac{x^{-1}}{\left(x+40\right)^{-1}}=0$$

Riordina i termini.

$$\frac{1}{\frac{1}{5x+2}\left(x-2\right)}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{5x+2}\left(x-2\right) come singola frazione.

$$\frac{1}{\frac{x-2}{5x+2}}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -\frac{2}{5} perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x-2}{5x+2} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x-2}{5x+2}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{1}{x+40}x}=0$$

Esprimi \frac{1}{x+40}x come singola frazione.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{1}{\frac{x}{x+40}}=0$$

La variabile x non può essere uguale a -40 perché la divisione per zero non è definita. Dividi 1 per\frac{x}{x+40} moltiplicando 1 per il reciproco di \frac{x}{x+40}.

$$\frac{5x+2}{x-2}-\frac{x+40}{x}=0$$

Per aggiungere o sottrarre espressioni, espandile per rendere uguali i denominatori. Il minimo comune multiplo di x-2 e x è x\left(x-2\right). Moltiplica \frac{5x+2}{x-2} per \frac{x}{x}. Moltiplica \frac{x+40}{x} per \frac{x-2}{x-2}.

$$\frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)}-\frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Poiché \frac{\left(5x+2\right)x}{x\left(x-2\right)} e \frac{\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)} hanno lo stesso denominatore, calcolane la sottrazione sottraendo i numeratori.

$$\frac{\left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right)}{x\left(x-2\right)}=0$$

Esegui le moltiplicazioni in \left(5x+2\right)x-\left(x+40\right)\left(x-2\right).

$$\frac{5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Unisci i termini come in 5x^{2}+2x-x^{2}+2x-40x+80.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x\left(x-2\right)}=0$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare x per x-2.

$$\frac{4x^{2}-36x+80}{x^{2}-2x}=0$$

La variabile x non può essere uguale a uno dei valori 0,2 perché la divisione per zero non è definita. Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per x\left(x-2\right).

$$4x^{2}-36x+80=0$$

Sottrai 80 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$4x^{2}-36x=-80$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4x^{2}-36x}{4}=-\frac{80}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{36}{4}\right)x=-\frac{80}{4}$$

Dividi -36 per 4.

$$x^{2}-9x=-\frac{80}{4}$$

Dividi -80 per 4.

$$x^{2}-9x=-20$$

Dividi -9, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere -\frac{9}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di -\frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-20+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{9}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-20+\frac{81}{4}$$

Aggiungi -20 a \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore x^{2}-9x+\frac{81}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{1}{2}$$

Aggiungi \frac{9}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=5 x=4$$