Risolvi {left(frac{sqrt{3}+1}{sqrt{3}-1}right)}^2

$${ \left( \frac{ \sqrt{ 3 } +1 }{ \sqrt{ 3 } -1 } \right) }^{ 2 }$$

Calcola

$$4\sqrt{3}+7\approx 13,92820323$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considera \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Eleva \sqrt{3} al quadrato. Eleva 1 al quadrato.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Sottrai 1 da 3 per ottenere 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Moltiplica \sqrt{3}+1 e \sqrt{3}+1 per ottenere \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividi ogni termine di 4+2\sqrt{3} per 2 per ottenere 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

E 4 e 3 per ottenere 7.

$$7+4\sqrt{3}$$

Espandi

$$4 \sqrt{3} + 7 = 13,92820323$$

Procedura della soluzione

Razionalizza il denominatore di \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{3}+1.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}\right)^{2}$$

Considera \left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right). La moltiplicazione può essere trasformata in differenza di quadrati secondo la regola: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}\right)^{2}$$

Eleva \sqrt{3} al quadrato. Eleva 1 al quadrato.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{3-1}\right)^{2}$$

Sottrai 1 da 3 per ottenere 2.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}\right)^{2}$$

Moltiplica \sqrt{3}+1 e \sqrt{3}+1 per ottenere \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}}{2}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{3}+1\right)^{2}.

$$\left(\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$\left(\frac{3+2\sqrt{3}+1}{2}\right)^{2}$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$\left(\frac{4+2\sqrt{3}}{2}\right)^{2}$$

Dividi ogni termine di 4+2\sqrt{3} per 2 per ottenere 2+\sqrt{3}.

$$\left(2+\sqrt{3}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{3}\right)^{2}.

$$4+4\sqrt{3}+\left(\sqrt{3}\right)^{2}$$

Il quadrato di \sqrt{3} è 3.

$$4+4\sqrt{3}+3$$

E 4 e 3 per ottenere 7.

$$7+4\sqrt{3}$$