Risolvi left(u+1right)^2=2u^2+5u+3

$${ \left( u+1 \right) }^{ 2 } =2 { u }^{ 2 } +5u+3$$

Trova u

$$u=-1$$

$$u=-2$$

Procedimento usando la scomposizione in fattori per raggruppamento

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Sottrai 2u^{2} da entrambi i lati.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combina u^{2} e -2u^{2} per ottenere -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Sottrai 5u da entrambi i lati.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combina 2u e -5u per ottenere -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -u^{2}+au+bu-2. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=-\left(-2\right)=2$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-1 b=-2$$

Riscrivi -u^{2}-3u-2 come \left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right).

$$\left(-u^{2}-u\right)+\left(-2u-2\right)$$

Fattori in u nel primo e 2 nel secondo gruppo.

$$u\left(-u-1\right)+2\left(-u-1\right)$$

Fattorizza il termine comune -u-1 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-u-1\right)\left(u+2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -u-1=0 e u+2=0.

$$u=-1 u=-2$$

Procedura usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Sottrai 2u^{2} da entrambi i lati.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combina u^{2} e -2u^{2} per ottenere -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Sottrai 5u da entrambi i lati.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combina 2u e -5u per ottenere -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Sottrai 3 da entrambi i lati.

$$-u^{2}-3u+1-3=0$$

Sottrai 3 da 1 per ottenere -2.

$$-u^{2}-3u-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, -3 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per -2.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 9 a -8.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{1}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 1.

$$u=\frac{-\left(-3\right)±1}{2\left(-1\right)}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$u=\frac{3±1}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$u=\frac{3±1}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione u=\frac{3±1}{-2} quando ± è più. Aggiungi 3 a 1.

$$u=\frac{4}{-2}$$

Dividi 4 per -2.

$$u=-2$$

Ora risolvi l'equazione u=\frac{3±1}{-2} quando ± è meno. Sottrai 1 da 3.

$$u=\frac{2}{-2}$$

Dividi 2 per -2.

$$u=-1$$

L'equazione è stata risolta.

$$u=-2 u=-1$$

Procedura per completare il quadrato

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(u+1\right)^{2}.

$$u^{2}+2u+1=2u^{2}+5u+3$$

Sottrai 2u^{2} da entrambi i lati.

$$u^{2}+2u+1-2u^{2}=5u+3$$

Combina u^{2} e -2u^{2} per ottenere -u^{2}.

$$-u^{2}+2u+1=5u+3$$

Sottrai 5u da entrambi i lati.

$$-u^{2}+2u+1-5u=3$$

Combina 2u e -5u per ottenere -3u.

$$-u^{2}-3u+1=3$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$-u^{2}-3u=3-1$$

Sottrai 1 da 3 per ottenere 2.

$$-u^{2}-3u=2$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$\frac{-u^{2}-3u}{-1}=\frac{2}{-1}$$

La divisione per -1 annulla la moltiplicazione per -1.

$$u^{2}+\left(-\frac{3}{-1}\right)u=\frac{2}{-1}$$

Dividi -3 per -1.

$$u^{2}+3u=\frac{2}{-1}$$

Dividi 2 per -1.

$$u^{2}+3u=-2$$

Dividi 3, il coefficiente del termine x, per 2 per ottenere \frac{3}{2}. Quindi aggiungi il quadrato di \frac{3}{2} a entrambi i lati dell'equazione. Con questo passaggio, il lato sinistro dell'equazione diventa un quadrato perfetto.

$$u^{2}+3u+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Aggiungi -2 a \frac{9}{4}.

$$u^{2}+3u+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Fattore u^{2}+3u+\frac{9}{4}. In generale, quando x^{2}+bx+c è un quadrato perfetto, può sempre essere scomplicato come \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{\left(u+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Semplifica.

$$u+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} u+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Sottrai \frac{3}{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$u=-1 u=-2$$