Risolvi sqrt{x+7}-sqrt{3-x}=2

$$\sqrt{ x+7 } - \sqrt{ 3-x } =2$$

Trova x

$$x=2$$

Procedura della soluzione

Sottrai -\sqrt{3-x} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x+7}=2+\sqrt{3-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+7}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+7} alla potenza di 2 e ottieni x+7.

$$x+7=\left(2+\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{3-x}\right)^{2}.

$$x+7=4+4\sqrt{3-x}+\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3-x} alla potenza di 2 e ottieni 3-x.

$$x+7=4+4\sqrt{3-x}+3-x$$

E 4 e 3 per ottenere 7.

$$x+7=7+4\sqrt{3-x}-x$$

Sottrai 7-x da entrambi i lati dell'equazione.

$$x+7-\left(7-x\right)=4\sqrt{3-x}$$

Per trovare l'opposto di 7-x, trova l'opposto di ogni termine.

$$x+7-7+x=4\sqrt{3-x}$$

Sottrai 7 da 7 per ottenere 0.

$$x+x=4\sqrt{3-x}$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$2x=4\sqrt{3-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2x\right)^{2}=\left(4\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Espandi \left(2x\right)^{2}.

$$2^{2}x^{2}=\left(4\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4x^{2}=\left(4\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{3-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}=4^{2}\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$4x^{2}=16\left(\sqrt{3-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3-x} alla potenza di 2 e ottieni 3-x.

$$4x^{2}=16\left(3-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per 3-x.

$$4x^{2}=48-16x$$

Sottrai 48 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-48=-16x$$

Aggiungi 16x a entrambi i lati.

$$4x^{2}-48+16x=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-12+4x=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$x^{2}+4x-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=4 ab=1\left(-12\right)=-12$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è positivo, il numero positivo ha un valore assoluto maggiore di quello negativo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

La soluzione è la coppia che restituisce 4 come somma.

$$a=-2 b=6$$

Riscrivi x^{2}+4x-12 come \left(x^{2}-2x\right)+\left(6x-12\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(6x-12\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-2\right)+6\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e x+6=0.

$$x=2 x=-6$$

Sostituisci 2 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{3-x}=2.

$$\sqrt{2+7}-\sqrt{3-2}=2$$

Semplifica. Il valore x=2 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Sostituisci -6 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{3-x}=2.

$$\sqrt{-6+7}-\sqrt{3-\left(-6\right)}=2$$

Semplifica. Il valore x=-6 non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$-2=2$$

Sostituisci 2 a x nell'equazione \sqrt{x+7}-\sqrt{3-x}=2.

$$\sqrt{2+7}-\sqrt{3-2}=2$$

Semplifica. Il valore x=2 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

L'equazione \sqrt{x+7}=\sqrt{3-x}+2 ha una soluzione univoca.

$$x=2$$