Risolvi sqrt{x}=sqrt{1+sqrt{x}}

$$\sqrt{ x } = \sqrt{ 1+ \sqrt{ x } }$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x}\right)^{2}=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x} alla potenza di 2 e ottieni x.

$$x=\left(\sqrt{1+\sqrt{x}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{1+\sqrt{x}} alla potenza di 2 e ottieni 1+\sqrt{x}.

$$x=1+\sqrt{x}$$

Sottrai 1 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x-1=\sqrt{x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(x-1\right)^{2}=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$x^{2}-2x+1=\left(\sqrt{x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x} alla potenza di 2 e ottieni x.

$$x^{2}-2x+1=x$$

Sottrai x da entrambi i lati.

$$x^{2}-2x+1-x=0$$

Combina -2x e -x per ottenere -3x.

$$x^{2}-3x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -3 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4}}{2}$$

Eleva -3 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4}}{2}$$

Aggiungi 9 a -4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{5}}{2}$$

L'opposto di -3 è 3.

$$x=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} quando ± è più. Aggiungi 3 a \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{3±\sqrt{5}}{2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{5} da 3.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{5}+3}{2} a x nell'equazione \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci \frac{3-\sqrt{5}}{2} a x nell'equazione \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} non soddisfa l'equazione.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{5}+3}{2} a x nell'equazione \sqrt{x}=\sqrt{1+\sqrt{x}}.

$$\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}=\sqrt{1+\sqrt{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{x}=\sqrt{\sqrt{x}+1} ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$