Risolvi sqrt{6+sqrt{x+4}}=sqrt{2x-1}

$$\sqrt{ 6+ \sqrt{ x+4 } } = \sqrt{ 2x-1 }$$

Trova x

$$x=5$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{6+\sqrt{x+4}}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{6+\sqrt{x+4}} alla potenza di 2 e ottieni 6+\sqrt{x+4}.

$$6+\sqrt{x+4}=\left(\sqrt{2x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-1} alla potenza di 2 e ottieni 2x-1.

$$6+\sqrt{x+4}=2x-1$$

Sottrai 6 da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x+4}=2x-1-6$$

Sottrai 6 da -1 per ottenere -7.

$$\sqrt{x+4}=2x-7$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+4}\right)^{2}=\left(2x-7\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+4} alla potenza di 2 e ottieni x+4.

$$x+4=\left(2x-7\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-7\right)^{2}.

$$x+4=4x^{2}-28x+49$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$x+4-4x^{2}=-28x+49$$

Aggiungi 28x a entrambi i lati.

$$x+4-4x^{2}+28x=49$$

Combina x e 28x per ottenere 29x.

$$29x+4-4x^{2}=49$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$29x+4-4x^{2}-49=0$$

Sottrai 49 da 4 per ottenere -45.

$$29x-45-4x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-4x^{2}+29x-45=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -4x^{2}+ax+bx-45. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=29 ab=-4\left(-45\right)=180$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 180.

$$1,180 2,90 3,60 4,45 5,36 6,30 9,20 10,18 12,15$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+180=181 2+90=92 3+60=63 4+45=49 5+36=41 6+30=36 9+20=29 10+18=28 12+15=27$$

La soluzione è la coppia che restituisce 29 come somma.

$$a=20 b=9$$

Riscrivi -4x^{2}+29x-45 come \left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right).

$$\left(-4x^{2}+20x\right)+\left(9x-45\right)$$

Fattori in 4x nel primo e -9 nel secondo gruppo.

$$4x\left(-x+5\right)-9\left(-x+5\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+5\right)\left(4x-9\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+5=0 e 4x-9=0.

$$x=5 x=\frac{9}{4}$$

Sostituisci 5 a x nell'equazione \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Semplifica. Il valore x=5 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

Sostituisci \frac{9}{4} a x nell'equazione \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{\frac{9}{4}+4}}=\sqrt{2\times \frac{9}{4}-1}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{9}{4} non soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}\times 34^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\times 14^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci 5 a x nell'equazione \sqrt{6+\sqrt{x+4}}=\sqrt{2x-1}.

$$\sqrt{6+\sqrt{5+4}}=\sqrt{2\times 5-1}$$

Semplifica. Il valore x=5 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

L'equazione \sqrt{\sqrt{x+4}+6}=\sqrt{2x-1} ha una soluzione univoca.

$$x=5$$