Risolvi sqrt{2x-3}=2+sqrt{x-5}

$$\sqrt{ 2x-3 } = 2+ \sqrt{ x-5 }$$

Trova x

$$x=14$$

$$x=6$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{2x-3}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-3} alla potenza di 2 e ottieni 2x-3.

$$2x-3=\left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-5} alla potenza di 2 e ottieni x-5.

$$2x-3=4+4\sqrt{x-5}+x-5$$

Sottrai 5 da 4 per ottenere -1.

$$2x-3=-1+4\sqrt{x-5}+x$$

Sottrai -1+x da entrambi i lati dell'equazione.

$$2x-3-\left(-1+x\right)=4\sqrt{x-5}$$

Per trovare l'opposto di -1+x, trova l'opposto di ogni termine.

$$2x-3+1-x=4\sqrt{x-5}$$

E -3 e 1 per ottenere -2.

$$2x-2-x=4\sqrt{x-5}$$

Combina 2x e -x per ottenere x.

$$x-2=4\sqrt{x-5}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(x-2\right)^{2}=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=\left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{x-5}\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+4=4^{2}\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$x^{2}-4x+4=16\left(\sqrt{x-5}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-5} alla potenza di 2 e ottieni x-5.

$$x^{2}-4x+4=16\left(x-5\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per x-5.

$$x^{2}-4x+4=16x-80$$

Sottrai 16x da entrambi i lati.

$$x^{2}-4x+4-16x=-80$$

Combina -4x e -16x per ottenere -20x.

$$x^{2}-20x+4=-80$$

Aggiungi 80 a entrambi i lati.

$$x^{2}-20x+4+80=0$$

E 4 e 80 per ottenere 84.

$$x^{2}-20x+84=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-20x+84 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-20 ab=84$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 84.

$$-1,-84 -2,-42 -3,-28 -4,-21 -6,-14 -7,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-84=-85 -2-42=-44 -3-28=-31 -4-21=-25 -6-14=-20 -7-12=-19$$

La soluzione è la coppia che restituisce -20 come somma.

$$a=-14 b=-6$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-14\right)\left(x-6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-14=0 e x-6=0.

$$x=14 x=6$$

Sostituisci 14 a x nell'equazione \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 14-3}=2+\sqrt{14-5}$$

Semplifica. Il valore x=14 soddisfa l'equazione.

$$5=5$$

Sostituisci 6 a x nell'equazione \sqrt{2x-3}=2+\sqrt{x-5}.

$$\sqrt{2\times 6-3}=2+\sqrt{6-5}$$

Semplifica. Il valore x=6 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{2x-3}=\sqrt{x-5}+2.

$$x=14 x=6$$