Risolvi sqrt{1+x}=1+sqrt{1-x}

$$\sqrt{ 1+x } =1+ \sqrt{ 1-x }$$

Trova x

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx 0,866025404$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{1+x}\right)^{2}=\left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{1+x} alla potenza di 2 e ottieni 1+x.

$$1+x=\left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(1+\sqrt{1-x}\right)^{2}.

$$1+x=1+2\sqrt{1-x}+\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{1-x} alla potenza di 2 e ottieni 1-x.

$$1+x=1+2\sqrt{1-x}+1-x$$

E 1 e 1 per ottenere 2.

$$1+x=2+2\sqrt{1-x}-x$$

Sottrai 2-x da entrambi i lati dell'equazione.

$$1+x-\left(2-x\right)=2\sqrt{1-x}$$

Per trovare l'opposto di 2-x, trova l'opposto di ogni termine.

$$1+x-2+x=2\sqrt{1-x}$$

Sottrai 2 da 1 per ottenere -1.

$$-1+x+x=2\sqrt{1-x}$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$-1+2x=2\sqrt{1-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-1+2x\right)^{2}=\left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-1+2x\right)^{2}.

$$1-4x+4x^{2}=\left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{1-x}\right)^{2}.

$$1-4x+4x^{2}=2^{2}\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$1-4x+4x^{2}=4\left(\sqrt{1-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{1-x} alla potenza di 2 e ottieni 1-x.

$$1-4x+4x^{2}=4\left(1-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per 1-x.

$$1-4x+4x^{2}=4-4x$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$1-4x+4x^{2}+4x=4$$

Combina -4x e 4x per ottenere 0.

$$1+4x^{2}=4$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$4x^{2}=4-1$$

Sottrai 1 da 4 per ottenere 3.

$$4x^{2}=3$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}=\frac{3}{4}$$

Calcola la radice quadrata di entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2} x=-\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{3}}{2} a x nell'equazione \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{3}}{2} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci -\frac{\sqrt{3}}{2} a x nell'equazione \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{\sqrt{3}}{2} non soddisfa l'equazione.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{3}}{2} a x nell'equazione \sqrt{1+x}=1+\sqrt{1-x}.

$$\sqrt{1+\frac{\sqrt{3}}{2}}=1+\sqrt{1-\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{3}}{2} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 3^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{x+1}=\sqrt{1-x}+1 ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}$$