Risolvi sqrt{1/2+1/4+1/8+1/16+frac{1}{2}x}=x

$$\sqrt{ \frac{ 1 }{ 2 } + \frac{ 1 }{ 4 } + \frac{ 1 }{ 8 } + \frac{ 1 }{ 16 } + \frac{ 1 }{ 2 } x } = x$$

Trova x

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Il minimo comune multiplo di 2 e 4 è 4. Converti \frac{1}{2} e \frac{1}{4} in frazioni con il denominatore 4.

$$\left(\sqrt{\frac{2}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Poiché \frac{2}{4} e \frac{1}{4} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\left(\sqrt{\frac{2+1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

E 2 e 1 per ottenere 3.

$$\left(\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Il minimo comune multiplo di 4 e 8 è 8. Converti \frac{3}{4} e \frac{1}{8} in frazioni con il denominatore 8.

$$\left(\sqrt{\frac{6}{8}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Poiché \frac{6}{8} e \frac{1}{8} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\left(\sqrt{\frac{6+1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

E 6 e 1 per ottenere 7.

$$\left(\sqrt{\frac{7}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Il minimo comune multiplo di 8 e 16 è 16. Converti \frac{7}{8} e \frac{1}{16} in frazioni con il denominatore 16.

$$\left(\sqrt{\frac{14}{16}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Poiché \frac{14}{16} e \frac{1}{16} hanno lo stesso denominatore, calcolane l'addizione sommando i numeratori.

$$\left(\sqrt{\frac{14+1}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

E 14 e 1 per ottenere 15.

$$\left(\sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x}\right)^{2}=x^{2}$$

Calcola \sqrt{\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x} alla potenza di 2 e ottieni \frac{15}{16}+\frac{1}{2}x.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x=x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$\frac{15}{16}+\frac{1}{2}x-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{15}{16}=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, \frac{1}{2} a b e \frac{15}{16} a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^{2}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva \frac{1}{2} al quadrato elevando al quadrato sia il numeratore che il denominatore della frazione.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}-4\left(-1\right)\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1}{4}+4\times \frac{15}{16}}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 4 per \frac{15}{16}.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{\frac{1+15}{4}}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi \frac{1}{4} a \frac{15}{4} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±\sqrt{4}}{2\left(-1\right)}$$

Calcola la radice quadrata di 4.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quando ± è più. Aggiungi -\frac{1}{2} a 2.

$$x=\frac{\frac{3}{2}}{-2}$$

Dividi \frac{3}{2} per -2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-\frac{1}{2}±2}{-2} quando ± è meno. Sottrai 2 da -\frac{1}{2}.

$$x=-\frac{\frac{5}{2}}{-2}$$

Dividi -\frac{5}{2} per -2.

$$x=\frac{5}{4}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=-\frac{3}{4} x=\frac{5}{4}$$

Sostituisci -\frac{3}{4} a x nell'equazione \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\left(-\frac{3}{4}\right)}=-\frac{3}{4}$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{3}{4} non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$\frac{3}{4}=-\frac{3}{4}$$

Sostituisci \frac{5}{4} a x nell'equazione \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}x}=x.

$$\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{2}\times \frac{5}{4}}=\frac{5}{4}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{5}{4} soddisfa l'equazione.

$$\frac{5}{4}=\frac{5}{4}$$

L'equazione \sqrt{\frac{x}{2}+\frac{15}{16}}=x ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{5}{4}$$