Risolvi sqrt{x-3}+sqrt{2x-2}=2

$$\sqrt { x - 3 } + \sqrt { 2 x - 2 } = 2$$

Trova x

$$x=3$$

Procedura della soluzione

Sottrai \sqrt{2x-2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x-3}=2-\sqrt{2x-2}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x-3}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-3} alla potenza di 2 e ottieni x-3.

$$x-3=\left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2-\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-2} alla potenza di 2 e ottieni 2x-2.

$$x-3=4-4\sqrt{2x-2}+2x-2$$

Sottrai 2 da 4 per ottenere 2.

$$x-3=2-4\sqrt{2x-2}+2x$$

Sottrai 2+2x da entrambi i lati dell'equazione.

$$x-3-\left(2+2x\right)=-4\sqrt{2x-2}$$

Per trovare l'opposto di 2+2x, trova l'opposto di ogni termine.

$$x-3-2-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Sottrai 2 da -3 per ottenere -5.

$$x-5-2x=-4\sqrt{2x-2}$$

Combina x e -2x per ottenere -x.

$$-x-5=-4\sqrt{2x-2}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-x-5\right)^{2}=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-x-5\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Espandi \left(-4\sqrt{2x-2}\right)^{2}.

$$x^{2}+10x+25=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcola -4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$x^{2}+10x+25=16\left(\sqrt{2x-2}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x-2} alla potenza di 2 e ottieni 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=16\left(2x-2\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per 2x-2.

$$x^{2}+10x+25=32x-32$$

Sottrai 32x da entrambi i lati.

$$x^{2}+10x+25-32x=-32$$

Combina 10x e -32x per ottenere -22x.

$$x^{2}-22x+25=-32$$

Aggiungi 32 a entrambi i lati.

$$x^{2}-22x+25+32=0$$

E 25 e 32 per ottenere 57.

$$x^{2}-22x+57=0$$

Per risolvere l'equazione, il fattore x^{2}-22x+57 utilizzando la formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-22 ab=57$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 57.

$$-1,-57 -3,-19$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-57=-58 -3-19=-22$$

La soluzione è la coppia che restituisce -22 come somma.

$$a=-19 b=-3$$

Riscrivi scomposte espressione \left(x+a\right)\left(x+b\right) con i valori ottenuti.

$$\left(x-19\right)\left(x-3\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-19=0 e x-3=0.

$$x=19 x=3$$

Sostituisci 19 a x nell'equazione \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{19-3}+\sqrt{2\times 19-2}=2$$

Semplifica. Il valore x=19 non soddisfa l'equazione.

$$10=2$$

Sostituisci 3 a x nell'equazione \sqrt{x-3}+\sqrt{2x-2}=2.

$$\sqrt{3-3}+\sqrt{2\times 3-2}=2$$

Semplifica. Il valore x=3 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

L'equazione \sqrt{x-3}=-\sqrt{2x-2}+2 ha una soluzione univoca.

$$x=3$$