Risolvi sqrt{x^2-1}=sqrt{2x+1}

$$\sqrt { x ^ { 2 } - 1 } = \sqrt { 2 x + 1 }$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

$$x=1-\sqrt{3}\approx -0,732050808$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-1} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x+1} alla potenza di 2 e ottieni 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Sottrai 1 da -1 per ottenere -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -2 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Aggiungi 4 a 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividi 2+2\sqrt{3} per 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{3} da 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividi 2-2\sqrt{3} per 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Sostituisci \sqrt{3}+1 a x nell'equazione \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Semplifica. Il valore x=\sqrt{3}+1 soddisfa l'equazione.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci 1-\sqrt{3} a x nell'equazione \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

Semplifica. Il valore x=1-\sqrt{3} soddisfa l'equazione.

$$i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}=i\left(-\left(3-2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)\right)^{\frac{1}{2}}$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Trova x

$$x=\sqrt{3}+1\approx 2,732050808$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x^{2}-1}\right)^{2}=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-1} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-1.

$$x^{2}-1=\left(\sqrt{2x+1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2x+1} alla potenza di 2 e ottieni 2x+1.

$$x^{2}-1=2x+1$$

Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$x^{2}-1-2x=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$x^{2}-1-2x-1=0$$

Sottrai 1 da -1 per ottenere -2.

$$x^{2}-2-2x=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$x^{2}-2x-2=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1 a a, -2 a b e -2 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-2\right)}}{2}$$

Eleva -2 al quadrato.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-2\right)}}{2}$$

Moltiplica -4 per -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+8}}{2}$$

Aggiungi 4 a 8.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Calcola la radice quadrata di 12.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+2}{2}$$

Dividi 2+2\sqrt{3} per 2.

$$x=\sqrt{3}+1$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{2±2\sqrt{3}}{2} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{3} da 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{3}}{2}$$

Dividi 2-2\sqrt{3} per 2.

$$x=1-\sqrt{3}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\sqrt{3}+1 x=1-\sqrt{3}$$

Sostituisci \sqrt{3}+1 a x nell'equazione \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}.

$$\sqrt{\left(\sqrt{3}+1\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(\sqrt{3}+1\right)+1}$$

Semplifica. Il valore x=\sqrt{3}+1 soddisfa l'equazione.

$$\left(3+2\times 3^{\frac{1}{2}}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2\times 3^{\frac{1}{2}}+3\right)^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci 1-\sqrt{3} a x nell'equazione \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1}. L'espressione \sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1} non è definita perché il radicando non può essere negativo.

$$\sqrt{\left(1-\sqrt{3}\right)^{2}-1}=\sqrt{2\left(1-\sqrt{3}\right)+1}$$

L'equazione \sqrt{x^{2}-1}=\sqrt{2x+1} ha una soluzione univoca.

$$x=\sqrt{3}+1$$