Risolvi sqrt{x^2+2x+9}-7=2x

$$\sqrt { x ^ { 2 } + 2 x + 9 } - 7 = 2 x$$

Trova x

$$x=-2$$

Procedura della soluzione

Sottrai -7 da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x^{2}+2x+9}\right)^{2}=\left(2x+7\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}+2x+9} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}+2x+9.

$$x^{2}+2x+9=\left(2x+7\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+7\right)^{2}.

$$x^{2}+2x+9=4x^{2}+28x+49$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}+2x+9-4x^{2}=28x+49$$

Combina x^{2} e -4x^{2} per ottenere -3x^{2}.

$$-3x^{2}+2x+9=28x+49$$

Sottrai 28x da entrambi i lati.

$$-3x^{2}+2x+9-28x=49$$

Combina 2x e -28x per ottenere -26x.

$$-3x^{2}-26x+9=49$$

Sottrai 49 da entrambi i lati.

$$-3x^{2}-26x+9-49=0$$

Sottrai 49 da 9 per ottenere -40.

$$-3x^{2}-26x-40=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -3x^{2}+ax+bx-40. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-26 ab=-3\left(-40\right)=120$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 120.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

La soluzione è la coppia che restituisce -26 come somma.

$$a=-6 b=-20$$

Riscrivi -3x^{2}-26x-40 come \left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right).

$$\left(-3x^{2}-6x\right)+\left(-20x-40\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 20 nel secondo gruppo.

$$3x\left(-x-2\right)+20\left(-x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(3x+20\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x-2=0 e 3x+20=0.

$$x=-2 x=-\frac{20}{3}$$

Sostituisci -2 a x nell'equazione \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-2\right)^{2}+2\left(-2\right)+9}-7=2\left(-2\right)$$

Semplifica. Il valore x=-2 soddisfa l'equazione.

$$-4=-4$$

Sostituisci -\frac{20}{3} a x nell'equazione \sqrt{x^{2}+2x+9}-7=2x.

$$\sqrt{\left(-\frac{20}{3}\right)^{2}+2\left(-\frac{20}{3}\right)+9}-7=2\left(-\frac{20}{3}\right)$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{20}{3} non soddisfa l'equazione.

$$-\frac{2}{3}=-\frac{40}{3}$$

L'equazione \sqrt{x^{2}+2x+9}=2x+7 ha una soluzione univoca.

$$x=-2$$