Risolvi sqrt{x+6}-sqrt{9x+70}=-2sqrt{x+9}

$$\sqrt { x + 6 } - \sqrt { 9 x + 70 } = - 2 \sqrt { x + 9 }$$

Trova x

$$x=-5$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+6} alla potenza di 2 e ottieni x+6.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{9x+70} alla potenza di 2 e ottieni 9x+70.

$$x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+9x+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Combina x e 9x per ottenere 10x.

$$10x+6-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}+70=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

E 6 e 70 per ottenere 76.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Espandi \left(-2\sqrt{x+9}\right)^{2}.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcola -2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(\sqrt{x+9}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+9} alla potenza di 2 e ottieni x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4\left(x+9\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x+9.

$$10x+76-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36$$

Sottrai 10x+76 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-\left(10x+76\right)$$

Per trovare l'opposto di 10x+76, trova l'opposto di ogni termine.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=4x+36-10x-76$$

Combina 4x e -10x per ottenere -6x.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x+36-76$$

Sottrai 76 da 36 per ottenere -40.

$$-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}=-6x-40$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Espandi \left(-2\sqrt{x+6}\sqrt{9x+70}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcola -2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+6} alla potenza di 2 e ottieni x+6.

$$4\left(x+6\right)\left(\sqrt{9x+70}\right)^{2}=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{9x+70} alla potenza di 2 e ottieni 9x+70.

$$4\left(x+6\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x+6.

$$\left(4x+24\right)\left(9x+70\right)=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 4x+24 per ogni termine di 9x+70.

$$36x^{2}+280x+216x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Combina 280x e 216x per ottenere 496x.

$$36x^{2}+496x+1680=\left(-6x-40\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-6x-40\right)^{2}.

$$36x^{2}+496x+1680=36x^{2}+480x+1600$$

Sottrai 36x^{2} da entrambi i lati.

$$36x^{2}+496x+1680-36x^{2}=480x+1600$$

Combina 36x^{2} e -36x^{2} per ottenere 0.

$$496x+1680=480x+1600$$

Sottrai 480x da entrambi i lati.

$$496x+1680-480x=1600$$

Combina 496x e -480x per ottenere 16x.

$$16x+1680=1600$$

Sottrai 1680 da entrambi i lati.

$$16x=1600-1680$$

Sottrai 1680 da 1600 per ottenere -80.

$$16x=-80$$

Dividi entrambi i lati per 16.

$$x=\frac{-80}{16}$$

Dividi -80 per 16 per ottenere -5.

$$x=-5$$

Sostituisci -5 a x nell'equazione \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9}.

$$\sqrt{-5+6}-\sqrt{9\left(-5\right)+70}=-2\sqrt{-5+9}$$

Semplifica. Il valore x=-5 soddisfa l'equazione.

$$-4=-4$$

L'equazione \sqrt{x+6}-\sqrt{9x+70}=-2\sqrt{x+9} ha una soluzione univoca.

$$x=-5$$