Risolvi sqrt{x+5}=sqrt{8-x}+1

$$\sqrt { x + 5 } = \sqrt { 8 - x } + 1$$

Trova x

$$x=4$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+5}\right)^{2}=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+5} alla potenza di 2 e ottieni x+5.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{8-x}+1\right)^{2}.

$$x+5=\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}+2\sqrt{8-x}+1$$

Calcola \sqrt{8-x} alla potenza di 2 e ottieni 8-x.

$$x+5=8-x+2\sqrt{8-x}+1$$

E 8 e 1 per ottenere 9.

$$x+5=9-x+2\sqrt{8-x}$$

Sottrai 9-x da entrambi i lati dell'equazione.

$$x+5-\left(9-x\right)=2\sqrt{8-x}$$

Per trovare l'opposto di 9-x, trova l'opposto di ogni termine.

$$x+5-9+x=2\sqrt{8-x}$$

Sottrai 9 da 5 per ottenere -4.

$$x-4+x=2\sqrt{8-x}$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$2x-4=2\sqrt{8-x}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2x-4\right)^{2}=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2x-4\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=\left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{8-x}\right)^{2}.

$$4x^{2}-16x+16=2^{2}\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(\sqrt{8-x}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{8-x} alla potenza di 2 e ottieni 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=4\left(8-x\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per 8-x.

$$4x^{2}-16x+16=32-4x$$

Sottrai 32 da entrambi i lati.

$$4x^{2}-16x+16-32=-4x$$

Sottrai 32 da 16 per ottenere -16.

$$4x^{2}-16x-16=-4x$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$4x^{2}-16x-16+4x=0$$

Combina -16x e 4x per ottenere -12x.

$$4x^{2}-12x-16=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-3x-4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx-4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-3 ab=1\left(-4\right)=-4$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -4.

$$1,-4 2,-2$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-4=-3 2-2=0$$

La soluzione è la coppia che restituisce -3 come somma.

$$a=-4 b=1$$

Riscrivi x^{2}-3x-4 come \left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right).

$$\left(x^{2}-4x\right)+\left(x-4\right)$$

Scomponi x in x^{2}-4x.

$$x\left(x-4\right)+x-4$$

Fattorizza il termine comune x-4 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-4=0 e x+1=0.

$$x=4 x=-1$$

Sostituisci 4 a x nell'equazione \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Semplifica. Il valore x=4 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

Sostituisci -1 a x nell'equazione \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{-1+5}=\sqrt{8-\left(-1\right)}+1$$

Semplifica. Il valore x=-1 non soddisfa l'equazione.

$$2=4$$

Sostituisci 4 a x nell'equazione \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1.

$$\sqrt{4+5}=\sqrt{8-4}+1$$

Semplifica. Il valore x=4 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

L'equazione \sqrt{x+5}=\sqrt{8-x}+1 ha una soluzione univoca.

$$x=4$$