Risolvi sqrt{x+3}+sqrt{x+6}=sqrt{x+11}

$$\sqrt { x + 3 } + \sqrt { x + 6 } = \sqrt { x + 11 }$$

Trova x

$$x=-2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+3} alla potenza di 2 e ottieni x+3.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+6} alla potenza di 2 e ottieni x+6.

$$x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+x+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Combina x e x per ottenere 2x.

$$2x+3+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}+6=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

E 3 e 6 per ottenere 9.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=\left(\sqrt{x+11}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+11} alla potenza di 2 e ottieni x+11.

$$2x+9+2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11$$

Sottrai 2x+9 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-\left(2x+9\right)$$

Per trovare l'opposto di 2x+9, trova l'opposto di ogni termine.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=x+11-2x-9$$

Combina x e -2x per ottenere -x.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+11-9$$

Sottrai 9 da 11 per ottenere 2.

$$2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}=-x+2$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Espandi \left(2\sqrt{x+3}\sqrt{x+6}\right)^{2}.

$$2^{2}\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcola 2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\left(\sqrt{x+3}\right)^{2}\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+3} alla potenza di 2 e ottieni x+3.

$$4\left(x+3\right)\left(\sqrt{x+6}\right)^{2}=\left(-x+2\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x+6} alla potenza di 2 e ottieni x+6.

$$4\left(x+3\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per x+3.

$$\left(4x+12\right)\left(x+6\right)=\left(-x+2\right)^{2}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 4x+12 per ogni termine di x+6.

$$4x^{2}+24x+12x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Combina 24x e 12x per ottenere 36x.

$$4x^{2}+36x+72=\left(-x+2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-x+2\right)^{2}.

$$4x^{2}+36x+72=x^{2}-4x+4$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$4x^{2}+36x+72-x^{2}=-4x+4$$

Combina 4x^{2} e -x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}+36x+72=-4x+4$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$3x^{2}+36x+72+4x=4$$

Combina 36x e 4x per ottenere 40x.

$$3x^{2}+40x+72=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$3x^{2}+40x+72-4=0$$

Sottrai 4 da 72 per ottenere 68.

$$3x^{2}+40x+68=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 3x^{2}+ax+bx+68. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=40 ab=3\times 68=204$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è positivo, a e b sono entrambi positivi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 204.

$$1,204 2,102 3,68 4,51 6,34 12,17$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1+204=205 2+102=104 3+68=71 4+51=55 6+34=40 12+17=29$$

La soluzione è la coppia che restituisce 40 come somma.

$$a=6 b=34$$

Riscrivi 3x^{2}+40x+68 come \left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right).

$$\left(3x^{2}+6x\right)+\left(34x+68\right)$$

Fattori in 3x nel primo e 34 nel secondo gruppo.

$$3x\left(x+2\right)+34\left(x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x+2\right)\left(3x+34\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x+2=0 e 3x+34=0.

$$x=-2 x=-\frac{34}{3}$$

Sostituisci -\frac{34}{3} a x nell'equazione \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}. L'espressione \sqrt{-\frac{34}{3}+3} non è definita perché il radicando non può essere negativo.

$$\sqrt{-\frac{34}{3}+3}+\sqrt{-\frac{34}{3}+6}=\sqrt{-\frac{34}{3}+11}$$

Sostituisci -2 a x nell'equazione \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11}.

$$\sqrt{-2+3}+\sqrt{-2+6}=\sqrt{-2+11}$$

Semplifica. Il valore x=-2 soddisfa l'equazione.

$$3=3$$

L'equazione \sqrt{x+3}+\sqrt{x+6}=\sqrt{x+11} ha una soluzione univoca.

$$x=-2$$