Risolvi sqrt{8}+sqrt{18}+sqrt{1/8}=a+bsqrt{2}

$$\sqrt { 8 } + \sqrt { 18 } + \sqrt { \frac { 1 } { 8 } } = a + b \sqrt { 2 }$$

Trova a

$$a=\frac{\sqrt{2}\left(21-4b\right)}{4}$$

Procedura della soluzione

Fattorizzare 8=2^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 2^{2}.

$$2\sqrt{2}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Fattorizzare 18=3^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{3^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{3^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 3^{2}.

$$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Combina 2\sqrt{2} e 3\sqrt{2} per ottenere 5\sqrt{2}.

$$5\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Riscrivi la radice quadrata del \sqrt{\frac{1}{8}} di divisione come divisione delle radici quadrate \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1 e ottieni 1.

$$5\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Fattorizzare 8=2^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 2^{2}.

$$5\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{1}{2\sqrt{2}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{2}.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2\times 2}=a+b\sqrt{2}$$

Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=a+b\sqrt{2}$$

Combina 5\sqrt{2} e \frac{\sqrt{2}}{4} per ottenere \frac{21}{4}\sqrt{2}.

$$\frac{21}{4}\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$a+b\sqrt{2}=\frac{21}{4}\sqrt{2}$$

Sottrai b\sqrt{2} da entrambi i lati.

$$a=\frac{21}{4}\sqrt{2}-b\sqrt{2}$$

Riordina i termini.

$$a=-\sqrt{2}b+\frac{21}{4}\sqrt{2}$$

Trova b

$$b=-\frac{\sqrt{2}a}{2}+\frac{21}{4}$$

Procedura per la soluzione di equazioni lineari

Fattorizzare 8=2^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 2^{2}.

$$2\sqrt{2}+\sqrt{18}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Fattorizzare 18=3^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{3^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{3^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 3^{2}.

$$2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Combina 2\sqrt{2} e 3\sqrt{2} per ottenere 5\sqrt{2}.

$$5\sqrt{2}+\sqrt{\frac{1}{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Riscrivi la radice quadrata del \sqrt{\frac{1}{8}} di divisione come divisione delle radici quadrate \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Calcola la radice quadrata di 1 e ottieni 1.

$$5\sqrt{2}+\frac{1}{\sqrt{8}}=a+b\sqrt{2}$$

Fattorizzare 8=2^{2}\times 2. Riscrivi la radice quadrata del prodotto \sqrt{2^{2}\times 2} come prodotto di radici quadrate \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Calcola la radice quadrata di 2^{2}.

$$5\sqrt{2}+\frac{1}{2\sqrt{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Razionalizza il denominatore di \frac{1}{2\sqrt{2}} moltiplicando il numeratore e il denominatore per \sqrt{2}.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2\left(\sqrt{2}\right)^{2}}=a+b\sqrt{2}$$

Il quadrato di \sqrt{2} è 2.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{2\times 2}=a+b\sqrt{2}$$

Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$5\sqrt{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}=a+b\sqrt{2}$$

Combina 5\sqrt{2} e \frac{\sqrt{2}}{4} per ottenere \frac{21}{4}\sqrt{2}.

$$\frac{21}{4}\sqrt{2}=a+b\sqrt{2}$$

Scambia i lati in modo che i termini variabili si trovino sul lato sinistro.

$$a+b\sqrt{2}=\frac{21}{4}\sqrt{2}$$

Sottrai a da entrambi i lati.

$$b\sqrt{2}=\frac{21}{4}\sqrt{2}-a$$

L'equazione è in formato standard.

$$\sqrt{2}b=-a+\frac{21\sqrt{2}}{4}$$

Dividi entrambi i lati per \sqrt{2}.

$$\frac{\sqrt{2}b}{\sqrt{2}}=\frac{-a+\frac{21\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}}$$

La divisione per \sqrt{2} annulla la moltiplicazione per \sqrt{2}.

$$b=\frac{-a+\frac{21\sqrt{2}}{4}}{\sqrt{2}}$$

Dividi \frac{21\sqrt{2}}{4}-a per \sqrt{2}.

$$b=-\frac{\sqrt{2}a}{2}+\frac{21}{4}$$