Risolvi sqrt{7x+67}=2x+5

$$\sqrt { 7 x + 67 } = 2 x + 5$$

Trova x

$$x=2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{7x+67}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{7x+67} alla potenza di 2 e ottieni 7x+67.

$$7x+67=\left(2x+5\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+5\right)^{2}.

$$7x+67=4x^{2}+20x+25$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$7x+67-4x^{2}=20x+25$$

Sottrai 20x da entrambi i lati.

$$7x+67-4x^{2}-20x=25$$

Combina 7x e -20x per ottenere -13x.

$$-13x+67-4x^{2}=25$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$-13x+67-4x^{2}-25=0$$

Sottrai 25 da 67 per ottenere 42.

$$-13x+42-4x^{2}=0$$

Ridisponi il polinomio per convertirlo nel formato standard. Disponi i termini in ordine dalla potenza massima a quella minima.

$$-4x^{2}-13x+42=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -4x^{2}+ax+bx+42. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-13 ab=-4\times 42=-168$$

Poiché ab è negativo, a e b hanno i segni opposti. Poiché a+b è negativo, il numero negativo ha un valore assoluto maggiore del positivo. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto -168.

$$1,-168 2,-84 3,-56 4,-42 6,-28 7,-24 8,-21 12,-14$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$1-168=-167 2-84=-82 3-56=-53 4-42=-38 6-28=-22 7-24=-17 8-21=-13 12-14=-2$$

La soluzione è la coppia che restituisce -13 come somma.

$$a=8 b=-21$$

Riscrivi -4x^{2}-13x+42 come \left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right).

$$\left(-4x^{2}+8x\right)+\left(-21x+42\right)$$

Fattori in 4x nel primo e 21 nel secondo gruppo.

$$4x\left(-x+2\right)+21\left(-x+2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x+2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x+2\right)\left(4x+21\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x+2=0 e 4x+21=0.

$$x=2 x=-\frac{21}{4}$$

Sostituisci 2 a x nell'equazione \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\times 2+67}=2\times 2+5$$

Semplifica. Il valore x=2 soddisfa l'equazione.

$$9=9$$

Sostituisci -\frac{21}{4} a x nell'equazione \sqrt{7x+67}=2x+5.

$$\sqrt{7\left(-\frac{21}{4}\right)+67}=2\left(-\frac{21}{4}\right)+5$$

Semplifica. Il valore x=-\frac{21}{4} non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$\frac{11}{2}=-\frac{11}{2}$$

L'equazione \sqrt{7x+67}=2x+5 ha una soluzione univoca.

$$x=2$$