Risolvi sqrt{5x-1}-sqrt{3x-2}=sqrt{x-1}

$$\sqrt { 5 x - 1 } - \sqrt { 3 x - 2 } = \sqrt { x - 1 }$$

Trova x

$$x=2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{5x-1} alla potenza di 2 e ottieni 5x-1.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3x-2} alla potenza di 2 e ottieni 3x-2.

$$5x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}+3x-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combina 5x e 3x per ottenere 8x.

$$8x-1-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}-2=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Sottrai 2 da -1 per ottenere -3.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-1} alla potenza di 2 e ottieni x-1.

$$8x-3-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1$$

Sottrai 8x-3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-\left(8x-3\right)$$

Per trovare l'opposto di 8x-3, trova l'opposto di ogni termine.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=x-1-8x+3$$

Combina x e -8x per ottenere -7x.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x-1+3$$

E -1 e 3 per ottenere 2.

$$-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}=-7x+2$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Espandi \left(-2\sqrt{5x-1}\sqrt{3x-2}\right)^{2}.

$$\left(-2\right)^{2}\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcola -2 alla potenza di 2 e ottieni 4.

$$4\left(\sqrt{5x-1}\right)^{2}\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{5x-1} alla potenza di 2 e ottieni 5x-1.

$$4\left(5x-1\right)\left(\sqrt{3x-2}\right)^{2}=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3x-2} alla potenza di 2 e ottieni 3x-2.

$$4\left(5x-1\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 4 per 5x-1.

$$\left(20x-4\right)\left(3x-2\right)=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Applica la proprietà distributiva moltiplicando ogni termine di 20x-4 per ogni termine di 3x-2.

$$60x^{2}-40x-12x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Combina -40x e -12x per ottenere -52x.

$$60x^{2}-52x+8=\left(-7x+2\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-7x+2\right)^{2}.

$$60x^{2}-52x+8=49x^{2}-28x+4$$

Sottrai 49x^{2} da entrambi i lati.

$$60x^{2}-52x+8-49x^{2}=-28x+4$$

Combina 60x^{2} e -49x^{2} per ottenere 11x^{2}.

$$11x^{2}-52x+8=-28x+4$$

Aggiungi 28x a entrambi i lati.

$$11x^{2}-52x+8+28x=4$$

Combina -52x e 28x per ottenere -24x.

$$11x^{2}-24x+8=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati.

$$11x^{2}-24x+8-4=0$$

Sottrai 4 da 8 per ottenere 4.

$$11x^{2}-24x+4=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come 11x^{2}+ax+bx+4. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-24 ab=11\times 4=44$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 44.

$$-1,-44 -2,-22 -4,-11$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-44=-45 -2-22=-24 -4-11=-15$$

La soluzione è la coppia che restituisce -24 come somma.

$$a=-22 b=-2$$

Riscrivi 11x^{2}-24x+4 come \left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right).

$$\left(11x^{2}-22x\right)+\left(-2x+4\right)$$

Fattori in 11x nel primo e -2 nel secondo gruppo.

$$11x\left(x-2\right)-2\left(x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-2\right)\left(11x-2\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-2=0 e 11x-2=0.

$$x=2 x=\frac{2}{11}$$

Sostituisci \frac{2}{11} a x nell'equazione \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}. L'espressione \sqrt{5\times \frac{2}{11}-1} non è definita perché il radicando non può essere negativo.

$$\sqrt{5\times \frac{2}{11}-1}-\sqrt{3\times \frac{2}{11}-2}=\sqrt{\frac{2}{11}-1}$$

Sostituisci 2 a x nell'equazione \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1}.

$$\sqrt{5\times 2-1}-\sqrt{3\times 2-2}=\sqrt{2-1}$$

Semplifica. Il valore x=2 soddisfa l'equazione.

$$1=1$$

L'equazione \sqrt{5x-1}-\sqrt{3x-2}=\sqrt{x-1} ha una soluzione univoca.

$$x=2$$