Risolvi sqrt{3x^2+12x+13}=2x+5

$$\sqrt { 3 x ^ { 2 } + 12 x + 13 } = 2 x + 5$$

Trova x

$$x=-2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{3x^{2}+12x+13}\right)^{2}=\left(2x+5\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{3x^{2}+12x+13} alla potenza di 2 e ottieni 3x^{2}+12x+13.

$$3x^{2}+12x+13=\left(2x+5\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2x+5\right)^{2}.

$$3x^{2}+12x+13=4x^{2}+20x+25$$

Sottrai 4x^{2} da entrambi i lati.

$$3x^{2}+12x+13-4x^{2}=20x+25$$

Combina 3x^{2} e -4x^{2} per ottenere -x^{2}.

$$-x^{2}+12x+13=20x+25$$

Sottrai 20x da entrambi i lati.

$$-x^{2}+12x+13-20x=25$$

Combina 12x e -20x per ottenere -8x.

$$-x^{2}-8x+13=25$$

Sottrai 25 da entrambi i lati.

$$-x^{2}-8x+13-25=0$$

Sottrai 25 da 13 per ottenere -12.

$$-x^{2}-8x-12=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come -x^{2}+ax+bx-12. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-8 ab=-\left(-12\right)=12$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. Elenca tutte le coppie di numeri interi di questo tipo che danno come prodotto 12.

$$-1,-12 -2,-6 -3,-4$$

Calcola la somma di ogni coppia.

$$-1-12=-13 -2-6=-8 -3-4=-7$$

La soluzione è la coppia che restituisce -8 come somma.

$$a=-2 b=-6$$

Riscrivi -x^{2}-8x-12 come \left(-x^{2}-2x\right)+\left(-6x-12\right).

$$\left(-x^{2}-2x\right)+\left(-6x-12\right)$$

Fattori in x nel primo e 6 nel secondo gruppo.

$$x\left(-x-2\right)+6\left(-x-2\right)$$

Fattorizza il termine comune -x-2 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(-x-2\right)\left(x+6\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere -x-2=0 e x+6=0.

$$x=-2 x=-6$$

Sostituisci -2 a x nell'equazione \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5.

$$\sqrt{3\left(-2\right)^{2}+12\left(-2\right)+13}=2\left(-2\right)+5$$

Semplifica. Il valore x=-2 soddisfa l'equazione.

$$1=1$$

Sostituisci -6 a x nell'equazione \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5.

$$\sqrt{3\left(-6\right)^{2}+12\left(-6\right)+13}=2\left(-6\right)+5$$

Semplifica. Il valore x=-6 non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$7=-7$$

L'equazione \sqrt{3x^{2}+12x+13}=2x+5 ha una soluzione univoca.

$$x=-2$$