Risolvi sqrt{25-x^2}-sqrt{15+x^2}=4

$$\sqrt { 25 - x ^ { 2 } } - \sqrt { 15 + x ^ { 2 } } = 4$$

Trova x (soluzione complessa)

$$x=-\sqrt{11}i\approx -0-3,31662479i$$

$$x=\sqrt{11}i\approx 3,31662479i$$

Procedura della soluzione

Sottrai -\sqrt{15+x^{2}} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{25-x^{2}}=4+\sqrt{15+x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{25-x^{2}}\right)^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{25-x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 25-x^{2}.

$$25-x^{2}=\left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(4+\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{15+x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 15+x^{2}.

$$25-x^{2}=16+8\sqrt{15+x^{2}}+15+x^{2}$$

E 16 e 15 per ottenere 31.

$$25-x^{2}=31+8\sqrt{15+x^{2}}+x^{2}$$

Sottrai 31+x^{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$25-x^{2}-\left(31+x^{2}\right)=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Per trovare l'opposto di 31+x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$25-x^{2}-31-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Sottrai 31 da 25 per ottenere -6.

$$-6-x^{2}-x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Combina -x^{2} e -x^{2} per ottenere -2x^{2}.

$$-6-2x^{2}=8\sqrt{15+x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-6-2x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(-6-2x^{2}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=\left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Espandi \left(8\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=8^{2}\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola 8 alla potenza di 2 e ottieni 64.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{15+x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=64\left(15+x^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 64 per 15+x^{2}.

$$36+24x^{2}+4x^{4}=960+64x^{2}$$

Sottrai 960 da entrambi i lati.

$$36+24x^{2}+4x^{4}-960=64x^{2}$$

Sottrai 960 da 36 per ottenere -924.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}=64x^{2}$$

Sottrai 64x^{2} da entrambi i lati.

$$-924+24x^{2}+4x^{4}-64x^{2}=0$$

Combina 24x^{2} e -64x^{2} per ottenere -40x^{2}.

$$-924-40x^{2}+4x^{4}=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$4t^{2}-40t-924=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 4 con a, -40 con b e -924 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-40\right)±\sqrt{\left(-40\right)^{2}-4\times 4\left(-924\right)}}{2\times 4}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{40±128}{8}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{40±128}{8} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=21 t=-11$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per ogni t.

$$x=-\sqrt{21} x=\sqrt{21} x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$

Sostituisci -\sqrt{21} a x nell'equazione \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Semplifica. Il valore x=-\sqrt{21} non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$-4=4$$

Sostituisci \sqrt{21} a x nell'equazione \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{21}\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{21}\right)^{2}}=4$$

Semplifica. Il valore x=\sqrt{21} non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$-4=4$$

Sostituisci -\sqrt{11}i a x nell'equazione \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(-\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Semplifica. Il valore x=-\sqrt{11}i soddisfa l'equazione.

$$4=4$$

Sostituisci \sqrt{11}i a x nell'equazione \sqrt{25-x^{2}}-\sqrt{15+x^{2}}=4.

$$\sqrt{25-\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}-\sqrt{15+\left(\sqrt{11}i\right)^{2}}=4$$

Semplifica. Il valore x=\sqrt{11}i soddisfa l'equazione.

$$4=4$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{25-x^{2}}=\sqrt{x^{2}+15}+4.

$$x=-\sqrt{11}i x=\sqrt{11}i$$