Risolvi sqrt{2-x}=x-1

$$\sqrt { 2 - x } = x - 1$$

Trova x

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1,618033989$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{2-x}\right)^{2}=\left(x-1\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{2-x} alla potenza di 2 e ottieni 2-x.

$$2-x=\left(x-1\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-1\right)^{2}.

$$2-x=x^{2}-2x+1$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$2-x-x^{2}=-2x+1$$

Aggiungi 2x a entrambi i lati.

$$2-x-x^{2}+2x=1$$

Combina -x e 2x per ottenere x.

$$2+x-x^{2}=1$$

Sottrai 1 da entrambi i lati.

$$2+x-x^{2}-1=0$$

Sottrai 1 da 2 per ottenere 1.

$$1+x-x^{2}=0$$

Tutte le equazioni nel formato ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolti usando la formula risolutiva per equazioni di secondo grado: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. La formula risolutiva per equazioni di secondo grado fornisce due soluzioni, una quando ± è un'addizione e l'altra quando è una sottrazione.

$$-x^{2}+x+1=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci -1 a a, 1 a b e 1 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Eleva 1 al quadrato.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica -4 per -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

Aggiungi 1 a 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Moltiplica 2 per -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± è più. Aggiungi -1 a \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dividi -1+\sqrt{5} per -2.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Ora risolvi l'equazione x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} quando ± è meno. Sottrai \sqrt{5} da -1.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

Dividi -1-\sqrt{5} per -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

L'equazione è stata risolta.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Sostituisci \frac{1-\sqrt{5}}{2} a x nell'equazione \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{1-\sqrt{5}}{2}}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}-1$$

Semplifica. Il valore x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} non soddisfa l'equazione. il lato sinistro e quello giusto hanno segni opposti.

$$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}$$

Sostituisci \frac{\sqrt{5}+1}{2} a x nell'equazione \sqrt{2-x}=x-1.

$$\sqrt{2-\frac{\sqrt{5}+1}{2}}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}-1$$

Semplifica. Il valore x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} soddisfa l'equazione.

$$-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}\times 5^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}$$

L'equazione \sqrt{2-x}=x-1 ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$