Risolvi sqrt{15+x^2}-sqrt{19-x^2}=2

$$\sqrt { 15 + x ^ { 2 } } - \sqrt { 19 - x ^ { 2 } } = 2$$

Trova x

$$x=\sqrt{10}\approx 3,16227766$$

$$x=-\sqrt{10}\approx -3,16227766$$

Procedura della soluzione

Sottrai -\sqrt{19-x^{2}} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{15+x^{2}}=2+\sqrt{19-x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{15+x^{2}}\right)^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{15+x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 15+x^{2}.

$$15+x^{2}=\left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(2+\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{19-x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 19-x^{2}.

$$15+x^{2}=4+4\sqrt{19-x^{2}}+19-x^{2}$$

E 4 e 19 per ottenere 23.

$$15+x^{2}=23+4\sqrt{19-x^{2}}-x^{2}$$

Sottrai 23-x^{2} da entrambi i lati dell'equazione.

$$15+x^{2}-\left(23-x^{2}\right)=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Per trovare l'opposto di 23-x^{2}, trova l'opposto di ogni termine.

$$15+x^{2}-23+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Sottrai 23 da 15 per ottenere -8.

$$-8+x^{2}+x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Combina x^{2} e x^{2} per ottenere 2x^{2}.

$$-8+2x^{2}=4\sqrt{19-x^{2}}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-8+2x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(-8+2x^{2}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4\left(x^{2}\right)^{2}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Per elevare una potenza a un'altra potenza, moltiplica gli esponenti. Moltiplica 2 e 2 per ottenere 4.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=\left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Espandi \left(4\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=4^{2}\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola 4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(\sqrt{19-x^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{19-x^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=16\left(19-x^{2}\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per 19-x^{2}.

$$64-32x^{2}+4x^{4}=304-16x^{2}$$

Sottrai 304 da entrambi i lati.

$$64-32x^{2}+4x^{4}-304=-16x^{2}$$

Sottrai 304 da 64 per ottenere -240.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}=-16x^{2}$$

Aggiungi 16x^{2} a entrambi i lati.

$$-240-32x^{2}+4x^{4}+16x^{2}=0$$

Combina -32x^{2} e 16x^{2} per ottenere -16x^{2}.

$$-240-16x^{2}+4x^{4}=0$$

Sostituisci t per x^{2}.

$$4t^{2}-16t-240=0$$

Tutte le equazioni del modulo ax^{2}+bx+c=0 possono essere risolte usando la formula quadratica: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sostituisci 4 con a, -16 con b e -240 con c nella formula quadratica.

$$t=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 4\left(-240\right)}}{2\times 4}$$

Esegui i calcoli.

$$t=\frac{16±64}{8}$$

Risolvi l'equazione t=\frac{16±64}{8} quando ± è più e quando ± è meno.

$$t=10 t=-6$$

Poiché x=t^{2}, le soluzioni vengono ottenute valutando x=±\sqrt{t} per t positivo.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$

Sostituisci \sqrt{10} a x nell'equazione \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Semplifica. Il valore x=\sqrt{10} soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Sostituisci -\sqrt{10} a x nell'equazione \sqrt{15+x^{2}}-\sqrt{19-x^{2}}=2.

$$\sqrt{15+\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}-\sqrt{19-\left(-\sqrt{10}\right)^{2}}=2$$

Semplifica. Il valore x=-\sqrt{10} soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{x^{2}+15}=\sqrt{19-x^{2}}+2.

$$x=\sqrt{10} x=-\sqrt{10}$$