Risolvi sqrt{-x+5}+sqrt{x-1}=2

$$\sqrt { - x + 5 } + \sqrt { x - 1 } = 2$$

Trova x

$$x=1$$

$$x=5$$

Procedura della soluzione

Sottrai \sqrt{x-1} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\sqrt{-x+5}=2-\sqrt{x-1}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{-x+5}\right)^{2}=\left(2-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{-x+5} alla potenza di 2 e ottieni -x+5.

$$-x+5=\left(2-\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(2-\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$-x+5=4-4\sqrt{x-1}+\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-1} alla potenza di 2 e ottieni x-1.

$$-x+5=4-4\sqrt{x-1}+x-1$$

Sottrai 1 da 4 per ottenere 3.

$$-x+5=3-4\sqrt{x-1}+x$$

Sottrai 3+x da entrambi i lati dell'equazione.

$$-x+5-\left(3+x\right)=-4\sqrt{x-1}$$

Per trovare l'opposto di 3+x, trova l'opposto di ogni termine.

$$-x+5-3-x=-4\sqrt{x-1}$$

Sottrai 3 da 5 per ottenere 2.

$$-x+2-x=-4\sqrt{x-1}$$

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(-x+2-x\right)^{2}=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Eleva -x+2-x al quadrato.

$$x^{2}-2\left(-x\right)x-4x+4\left(-x\right)+\left(-x\right)^{2}+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Moltiplica -2 e -1 per ottenere 2.

$$x^{2}+2xx-4x+4\left(-x\right)+\left(-x\right)^{2}+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Moltiplica x e x per ottenere x^{2}.

$$x^{2}+2x^{2}-4x+4\left(-x\right)+\left(-x\right)^{2}+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combina x^{2} e 2x^{2} per ottenere 3x^{2}.

$$3x^{2}-4x+4\left(-x\right)+\left(-x\right)^{2}+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola -x alla potenza di 2 e ottieni x^{2}.

$$3x^{2}-4x+4\left(-x\right)+x^{2}+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Combina 3x^{2} e x^{2} per ottenere 4x^{2}.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4=\left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Espandi \left(-4\sqrt{x-1}\right)^{2}.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4=\left(-4\right)^{2}\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola -4 alla potenza di 2 e ottieni 16.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4=16\left(\sqrt{x-1}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x-1} alla potenza di 2 e ottieni x-1.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4=16\left(x-1\right)$$

Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 16 per x-1.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4=16x-16$$

Sottrai 16x da entrambi i lati.

$$4x^{2}-4x+4\left(-x\right)+4-16x=-16$$

Combina -4x e -16x per ottenere -20x.

$$4x^{2}-20x+4\left(-x\right)+4=-16$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati.

$$4x^{2}-20x+4\left(-x\right)+4+16=0$$

E 4 e 16 per ottenere 20.

$$4x^{2}-20x+4\left(-x\right)+20=0$$

Moltiplica 4 e -1 per ottenere -4.

$$4x^{2}-20x-4x+20=0$$

Combina -20x e -4x per ottenere -24x.

$$4x^{2}-24x+20=0$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x^{2}-6x+5=0$$

Per risolvere l'equazione, fattorizzare il lato sinistro raggruppandolo. Per prima cosa, è necessario riscrivere il lato sinistro come x^{2}+ax+bx+5. Per trovare a e b, configurare un sistema da risolvere.

$$a+b=-6 ab=1\times 5=5$$

Poiché ab è positivo, a e b hanno lo stesso segno. Poiché a+b è negativo, a e b sono entrambi negativi. L'unica coppia di questo tipo è la soluzione di sistema.

$$a=-5 b=-1$$

Riscrivi x^{2}-6x+5 come \left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(-x+5\right)$$

Fattori in x nel primo e -1 nel secondo gruppo.

$$x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Fattorizza il termine comune x-5 tramite la proprietà distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x-1\right)$$

Per trovare soluzioni di equazione, risolvere x-5=0 e x-1=0.

$$x=5 x=1$$

Sostituisci 5 a x nell'equazione \sqrt{-x+5}+\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{-5+5}+\sqrt{5-1}=2$$

Semplifica. Il valore x=5 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Sostituisci 1 a x nell'equazione \sqrt{-x+5}+\sqrt{x-1}=2.

$$\sqrt{-1+5}+\sqrt{1-1}=2$$

Semplifica. Il valore x=1 soddisfa l'equazione.

$$2=2$$

Elenca tutte le soluzioni di \sqrt{5-x}=-\sqrt{x-1}+2.

$$x=5 x=1$$