Risolvi sqrt{(x-2)^2+(y-2)^2}=sqrt{(x-(-2))^2+(y-4)^2}

$$\sqrt { ( x - 2 ) ^ { 2 } + ( y - 2 ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( x - ( - 2 ) ) ^ { 2 } + ( y - 4 ) ^ { 2 } }$$

Trova x

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

E 4 e 4 per ottenere 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

E 4 e 16 per ottenere 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-x^{2}=4x+20+y^{2}-8y$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$-4x+8+y^{2}-4y=4x+20+y^{2}-8y$$

Sottrai 4x da entrambi i lati.

$$-4x+8+y^{2}-4y-4x=20+y^{2}-8y$$

Combina -4x e -4x per ottenere -8x.

$$-8x+8+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$-8x+y^{2}-4y=20+y^{2}-8y-8$$

Sottrai 8 da 20 per ottenere 12.

$$-8x+y^{2}-4y=12+y^{2}-8y$$

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$-8x-4y=12+y^{2}-8y-y^{2}$$

Combina y^{2} e -y^{2} per ottenere 0.

$$-8x-4y=12-8y$$

Aggiungi 4y a entrambi i lati.

$$-8x=12-8y+4y$$

Combina -8y e 4y per ottenere -4y.

$$-8x=12-4y$$

Dividi entrambi i lati per -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{12-4y}{-8}$$

La divisione per -8 annulla la moltiplicazione per -8.

$$x=\frac{12-4y}{-8}$$

Dividi 12-4y per -8.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Sostituisci \frac{y-3}{2} a x nell'equazione \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(\frac{y-3}{2}-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}$$

Semplifica. Il valore x=\frac{y-3}{2} soddisfa l'equazione.

$$\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}\left(65-30y+5y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ha una soluzione univoca.

$$x=\frac{y-3}{2}$$

Trova y

$$y=2x+3$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(x-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+\left(y-2\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-2\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+4+y^{2}-4y+4}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

E 4 e 4 per ottenere 8.

$$\left(\sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}-4x+8+y^{2}-4y} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}-4x+8+y^{2}-4y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

L'opposto di -2 è 2.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{\left(x+2\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} per espandere \left(x+2\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+\left(y-4\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(y-4\right)^{2}.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+4+y^{2}-8y+16}\right)^{2}$$

E 4 e 16 per ottenere 20.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=\left(\sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{x^{2}+4x+20+y^{2}-8y} alla potenza di 2 e ottieni x^{2}+4x+20+y^{2}-8y.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y=x^{2}+4x+20+y^{2}-8y$$

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$x^{2}-4x+8+y^{2}-4y-y^{2}=x^{2}+4x+20-8y$$

Combina y^{2} e -y^{2} per ottenere 0.

$$x^{2}-4x+8-4y=x^{2}+4x+20-8y$$

Aggiungi 8y a entrambi i lati.

$$x^{2}-4x+8-4y+8y=x^{2}+4x+20$$

Combina -4y e 8y per ottenere 4y.

$$x^{2}-4x+8+4y=x^{2}+4x+20$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$-4x+8+4y=x^{2}+4x+20-x^{2}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$-4x+8+4y=4x+20$$

Aggiungi 4x a entrambi i lati.

$$8+4y=4x+20+4x$$

Combina 4x e 4x per ottenere 8x.

$$8+4y=8x+20$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$4y=8x+20-8$$

Sottrai 8 da 20 per ottenere 12.

$$4y=8x+12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$\frac{4y}{4}=\frac{8x+12}{4}$$

La divisione per 4 annulla la moltiplicazione per 4.

$$y=\frac{8x+12}{4}$$

Dividi 8x+12 per 4.

$$y=2x+3$$

Sostituisci 2x+3 a y nell'equazione \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(y-4\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(2x+3-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}+\left(2x+3-4\right)^{2}}$$

Semplifica. Il valore y=2x+3 soddisfa l'equazione.

$$\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(5+5x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{\left(x-2\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}}=\sqrt{\left(y-4\right)^{2}+\left(x-\left(-2\right)\right)^{2}} ha una soluzione univoca.

$$y=2x+3$$