Risolvi sqrt{(7-x)^2+(1-y)^2}=sqrt{(3-x)^2+(5-y)^2}

$$\sqrt { ( 7 - x ) ^ { 2 } + ( 1 - y ) ^ { 2 } } = \sqrt { ( 3 - x ) ^ { 2 } + ( 5 - y ) ^ { 2 } }$$

Trova x

$$x=y+2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

E 49 e 1 per ottenere 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

E 9 e 25 per ottenere 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Aggiungi 6x a entrambi i lati.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+6x=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Combina -14x e 6x per ottenere -8x.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}=34+x^{2}-10y+y^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$50-8x+x^{2}-2y+y^{2}-x^{2}=34-10y+y^{2}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$50-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}$$

Sottrai 50 da entrambi i lati.

$$-8x-2y+y^{2}=34-10y+y^{2}-50$$

Sottrai 50 da 34 per ottenere -16.

$$-8x-2y+y^{2}=-16-10y+y^{2}$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati.

$$-8x+y^{2}=-16-10y+y^{2}+2y$$

Combina -10y e 2y per ottenere -8y.

$$-8x+y^{2}=-16-8y+y^{2}$$

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$-8x=-16-8y+y^{2}-y^{2}$$

Combina y^{2} e -y^{2} per ottenere 0.

$$-8x=-16-8y$$

L'equazione è in formato standard.

$$-8x=-8y-16$$

Dividi entrambi i lati per -8.

$$\frac{-8x}{-8}=\frac{-8y-16}{-8}$$

La divisione per -8 annulla la moltiplicazione per -8.

$$x=\frac{-8y-16}{-8}$$

Dividi -16-8y per -8.

$$x=y+2$$

Sostituisci y+2 a x nell'equazione \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-\left(y+2\right)\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}$$

Semplifica. Il valore x=y+2 soddisfa l'equazione.

$$\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2y^{2}-12y+26\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} ha una soluzione univoca.

$$x=y+2$$

Trova y

$$y=x-2$$

Procedura della soluzione

Eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

$$\left(\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(7-x\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+\left(1-y\right)^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(1-y\right)^{2}.

$$\left(\sqrt{49-14x+x^{2}+1-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

E 49 e 1 per ottenere 50.

$$\left(\sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}}\right)^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{50-14x+x^{2}-2y+y^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 50-14x+x^{2}-2y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(3-x\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+\left(5-y\right)^{2}}\right)^{2}$$

Usare il teorema binomiale \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} per espandere \left(5-y\right)^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{9-6x+x^{2}+25-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

E 9 e 25 per ottenere 34.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=\left(\sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}}\right)^{2}$$

Calcola \sqrt{34-6x+x^{2}-10y+y^{2}} alla potenza di 2 e ottieni 34-6x+x^{2}-10y+y^{2}.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}=34-6x+x^{2}-10y+y^{2}$$

Aggiungi 10y a entrambi i lati.

$$50-14x+x^{2}-2y+y^{2}+10y=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Combina -2y e 10y per ottenere 8y.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}=34-6x+x^{2}+y^{2}$$

Sottrai y^{2} da entrambi i lati.

$$50-14x+x^{2}+8y+y^{2}-y^{2}=34-6x+x^{2}$$

Combina y^{2} e -y^{2} per ottenere 0.

$$50-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}$$

Sottrai 50 da entrambi i lati.

$$-14x+x^{2}+8y=34-6x+x^{2}-50$$

Sottrai 50 da 34 per ottenere -16.

$$-14x+x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}$$

Aggiungi 14x a entrambi i lati.

$$x^{2}+8y=-16-6x+x^{2}+14x$$

Combina -6x e 14x per ottenere 8x.

$$x^{2}+8y=-16+8x+x^{2}$$

Sottrai x^{2} da entrambi i lati.

$$8y=-16+8x+x^{2}-x^{2}$$

Combina x^{2} e -x^{2} per ottenere 0.

$$8y=-16+8x$$

L'equazione è in formato standard.

$$8y=8x-16$$

Dividi entrambi i lati per 8.

$$\frac{8y}{8}=\frac{8x-16}{8}$$

La divisione per 8 annulla la moltiplicazione per 8.

$$y=\frac{8x-16}{8}$$

Dividi -16+8x per 8.

$$y=x-2$$

Sostituisci x-2 a y nell'equazione \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}}.

$$\sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-\left(x-2\right)\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-\left(x-2\right)\right)^{2}}$$

Semplifica. Il valore y=x-2 soddisfa l'equazione.

$$\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}=\left(2x^{2}-20x+58\right)^{\frac{1}{2}}$$

L'equazione \sqrt{\left(7-x\right)^{2}+\left(1-y\right)^{2}}=\sqrt{\left(3-x\right)^{2}+\left(5-y\right)^{2}} ha una soluzione univoca.

$$y=x-2$$