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Differenzia rispetto a z
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\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}z}(\sin(z))=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(z+h)-\sin(z)}{h}\right)
Per una funzione f\left(x\right), la derivata è il limite di \frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} mentre h va a 0, se tale limite esiste.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(z+h)-\sin(z)}{h}
Usa la formula della somma per il seno.
\lim_{h\to 0}\frac{\sin(z)\left(\cos(h)-1\right)+\cos(z)\sin(h)}{h}
Scomponi \sin(z) in fattori.
\left(\lim_{h\to 0}\sin(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\left(\lim_{h\to 0}\cos(z)\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Riscrivi il limite.
\sin(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{h}\right)
Usa il fatto che z è una costante per calcolare i limiti mentre h va a 0.
\sin(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(z)
Il limite \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} è 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)=\left(\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)-1\right)\left(\cos(h)+1\right)}{h\left(\cos(h)+1\right)}\right)
Per calcolare il limite \lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}, moltiplica prima il numeratore e il denominatore per \cos(h)+1.
\lim_{h\to 0}\frac{\left(\cos(h)\right)^{2}-1}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Moltiplica \cos(h)+1 per \cos(h)-1.
\lim_{h\to 0}-\frac{\left(\sin(h)\right)^{2}}{h\left(\cos(h)+1\right)}
Usa l'identità pitagorica.
\left(\lim_{h\to 0}-\frac{\sin(h)}{h}\right)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Riscrivi il limite.
-\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)
Il limite \lim_{z\to 0}\frac{\sin(z)}{z} è 1.
\left(\lim_{h\to 0}\frac{\sin(h)}{\cos(h)+1}\right)=0
Usa il fatto che \frac{\sin(h)}{\cos(h)+1} è continuo in 0.
\cos(z)
Sostituisci il valore 0 nell'espressione \sin(z)\left(\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}\right)+\cos(z).