Risolvi {l}{3x+5y=4}{x-3y=6}

$$\left.\begin{array} { l } { 3 x + 5 y = 4 } \\ { x - 3 y = 6 } \end{array} \right\}$$

Trova x,.y

$$x=3$$

$$y=-1$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$3x+5y=4$$

Sottrai 5y da entrambi i lati dell'equazione.

$$3x=-5y+4$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-5y+4\right)$$

Moltiplica \frac{1}{3} per -5y+4.

$$x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Sostituisci \frac{-5y+4}{3} a x nell'altra equazione x-3y=6.

$$-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}-3y=6$$

Aggiungi -\frac{5y}{3} a -3y.

$$-\frac{14}{3}y+\frac{4}{3}=6$$

Sottrai \frac{4}{3} da entrambi i lati dell'equazione.

$$-\frac{14}{3}y=\frac{14}{3}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per -\frac{14}{3}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x=-\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{5}{3}\left(-1\right)+\frac{4}{3}$$

Moltiplica -\frac{5}{3} per -1.

$$x=\frac{5+4}{3}$$

Aggiungi \frac{4}{3} a \frac{5}{3} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-1$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{3\left(-3\right)-5}&-\frac{5}{3\left(-3\right)-5}\\-\frac{1}{3\left(-3\right)-5}&\frac{3}{3\left(-3\right)-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}&\frac{5}{14}\\\frac{1}{14}&-\frac{3}{14}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{14}\times 4+\frac{5}{14}\times 6\\\frac{1}{14}\times 4-\frac{3}{14}\times 6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=3,y=-1$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$3x+5y=4,x-3y=6$$

Per rendere 3x e x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 1 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 3.

$$3x+5y=4,3x+3\left(-3\right)y=3\times 6$$

Semplifica.

$$3x+5y=4,3x-9y=18$$

Sottrai 3x-9y=18 a 3x+5y=4 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$3x-3x+5y+9y=4-18$$

Aggiungi 3x a -3x. I termini 3x e -3x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$5y+9y=4-18$$

Aggiungi 5y a 9y.

$$14y=4-18$$

Aggiungi 4 a -18.

$$14y=-14$$

Dividi entrambi i lati per 14.

$$y=-1$$

Sostituisci -1 a y in x-3y=6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-3\left(-1\right)=6$$

Moltiplica -3 per -1.

$$x+3=6$$

Sottrai 3 da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=3,y=-1$$