Risolvi {x=5-y}{7x+3y=47}

$$\left. \begin{cases} { x = 5-y } \\ { 7x+3y = 47 } \end{cases} \right.$$

Trova x,.y

$$x=8$$

$$y=-3$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=5$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=5$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+5$$

Sostituisci -y+5 a x nell'altra equazione 7x+3y=47.

$$7\left(-y+5\right)+3y=47$$

Moltiplica 7 per -y+5.

$$-7y+35+3y=47$$

Aggiungi -7y a 3y.

$$-4y+35=47$$

Sottrai 35 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4y=12$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$y=-3$$

Sostituisci -3 a y in x=-y+5. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\left(-3\right)+5$$

Moltiplica -1 per -3.

$$x=3+5$$

Aggiungi 5 a 3.

$$x=8$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=8,y=-3$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=5$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\7&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-7}&-\frac{1}{3-7}\\-\frac{7}{3-7}&\frac{1}{3-7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{7}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\47\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\times 5+\frac{1}{4}\times 47\\\frac{7}{4}\times 5-\frac{1}{4}\times 47\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\-3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=8,y=-3$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Aggiungi y a entrambi i lati.

$$x+y=5$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=5,7x+3y=47$$

Per rendere x e 7x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per 7 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$7x+7y=7\times 5,7x+3y=47$$

Semplifica.

$$7x+7y=35,7x+3y=47$$

Sottrai 7x+3y=47 a 7x+7y=35 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$7x-7x+7y-3y=35-47$$

Aggiungi 7x a -7x. I termini 7x e -7x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$7y-3y=35-47$$

Aggiungi 7y a -3y.

$$4y=35-47$$

Aggiungi 35 a -47.

$$4y=-12$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y=-3$$

Sostituisci -3 a y in 7x+3y=47. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$7x+3\left(-3\right)=47$$

Moltiplica 3 per -3.

$$7x-9=47$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$7x=56$$

Dividi entrambi i lati per 7.

$$x=8$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=8,y=-3$$