Risolvi {l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=1$$

$$y=-3$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$x+2y=4+3y$$

Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y per ottenere -y.

$$x-y=4$$

Considera la seconda equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y per ottenere y.

$$8+y=2+3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$8+y-3x=2$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$y-3x=2-8$$

Sottrai 8 da 2 per ottenere -6.

$$y-3x=-6$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x-y=4$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=y+4$$

Sostituisci y+4 a x nell'altra equazione -3x+y=-6.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

Moltiplica -3 per y+4.

$$-3y-12+y=-6$$

Aggiungi -3y a y.

$$-2y-12=-6$$

Aggiungi 12 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=6$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=-3$$

Sostituisci -3 a y in x=y+4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-3+4$$

Aggiungi 4 a -3.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=-3$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$x+2y=4+3y$$

Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y per ottenere -y.

$$x-y=4$$

Considera la seconda equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y per ottenere y.

$$8+y=2+3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$8+y-3x=2$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$y-3x=2-8$$

Sottrai 8 da 2 per ottenere -6.

$$y-3x=-6$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=1,y=-3$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 3 per 1+y.

$$x+2y=3+3y+1$$

E 3 e 1 per ottenere 4.

$$x+2y=4+3y$$

Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+2y-3y=4$$

Combina 2y e -3y per ottenere -y.

$$x-y=4$$

Considera la seconda equazione. Usa la proprietà distributiva per moltiplicare 2 per 1-y.

$$8-y=2-2y+3x$$

Aggiungi 2y a entrambi i lati.

$$8-y+2y=2+3x$$

Combina -y e 2y per ottenere y.

$$8+y=2+3x$$

Sottrai 3x da entrambi i lati.

$$8+y-3x=2$$

Sottrai 8 da entrambi i lati.

$$y-3x=2-8$$

Sottrai 8 da 2 per ottenere -6.

$$y-3x=-6$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

Per rendere x e -3x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -3 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 1.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

Semplifica.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

Sottrai -3x+y=-6 a -3x+3y=-12 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

Aggiungi -3x a 3x. I termini -3x e 3x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$3y-y=-12+6$$

Aggiungi 3y a -y.

$$2y=-12+6$$

Aggiungi -12 a 6.

$$2y=-6$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$y=-3$$

Sostituisci -3 a y in -3x+y=-6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-3x-3=-6$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-3x=-3$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$x=1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=1,y=-3$$