Risolvi {l}{5x-4y=-7}{-6x+8y=2}

$$\left. \begin{array}{l}{ 5 x - 4 y = - 7 }\\{ - 6 x + 8 y = 2 }\end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=-3$$

$$y=-2$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$5x-4y=-7$$

Aggiungi 4y a entrambi i lati dell'equazione.

$$5x=4y-7$$

Dividi entrambi i lati per 5.

$$x=\frac{1}{5}\left(4y-7\right)$$

Moltiplica \frac{1}{5} per 4y-7.

$$x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}$$

Sostituisci \frac{4y-7}{5} a x nell'altra equazione -6x+8y=2.

$$-6\left(\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}\right)+8y=2$$

Moltiplica -6 per \frac{4y-7}{5}.

$$-\frac{24}{5}y+\frac{42}{5}+8y=2$$

Aggiungi -\frac{24y}{5} a 8y.

$$\frac{16}{5}y+\frac{42}{5}=2$$

Sottrai \frac{42}{5} da entrambi i lati dell'equazione.

$$\frac{16}{5}y=-\frac{32}{5}$$

Dividi entrambi i lati dell'equazione per \frac{16}{5}, che equivale a moltiplicare entrambi i lati per il reciproco della frazione.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in x=\frac{4}{5}y-\frac{7}{5}. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=\frac{4}{5}\left(-2\right)-\frac{7}{5}$$

Moltiplica \frac{4}{5} per -2.

$$x=\frac{-8-7}{5}$$

Aggiungi -\frac{7}{5} a -\frac{8}{5} trovando un denominatore comune e sommando i numeratori, quindi riduci la frazione ai minimi termini, se possibile.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=-2$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}5&-4\\-6&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&-\frac{-4}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\\-\frac{-6}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}&\frac{5}{5\times 8-\left(-4\left(-6\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\\\frac{3}{8}&\frac{5}{16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\2\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-7\right)+\frac{1}{4}\times 2\\\frac{3}{8}\left(-7\right)+\frac{5}{16}\times 2\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\-2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=-3,y=-2$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$5x-4y=-7,-6x+8y=2$$

Per rendere 5x e -6x uguali, moltiplica tutti i termini su ogni lato della prima equazione per -6 e tutti i termini su ogni lato della seconda per 5.

$$-6\times 5x-6\left(-4\right)y=-6\left(-7\right),5\left(-6\right)x+5\times 8y=5\times 2$$

Semplifica.

$$-30x+24y=42,-30x+40y=10$$

Sottrai -30x+40y=10 a -30x+24y=42 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$-30x+30x+24y-40y=42-10$$

Aggiungi -30x a 30x. I termini -30x e 30x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$24y-40y=42-10$$

Aggiungi 24y a -40y.

$$-16y=42-10$$

Aggiungi 42 a -10.

$$-16y=32$$

Dividi entrambi i lati per -16.

$$y=-2$$

Sostituisci -2 a y in -6x+8y=2. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$-6x+8\left(-2\right)=2$$

Moltiplica 8 per -2.

$$-6x-16=2$$

Aggiungi 16 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-6x=18$$

Dividi entrambi i lati per -6.

$$x=-3$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-3,y=-2$$