Risolvi {l}{y=-x}{y=2x+6}

$$\left. \begin{array} { l } { y = - x } \\ { y = 2 x + 6 } \end{array} \right.$$

Trova y,.x

$$x=-2$$

$$y=2$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=0$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=6$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per y isolando y sul lato sinistro del segno di uguale.

$$y+x=0$$

Sottrai x da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=-x$$

Sostituisci -x a y nell'altra equazione y-2x=6.

$$-x-2x=6$$

Aggiungi -x a -2x.

$$-3x=6$$

Dividi entrambi i lati per -3.

$$x=-2$$

Sostituisci -2 a x in y=-x. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y=-\left(-2\right)$$

Moltiplica -1 per -2.

$$y=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=2,x=-2$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=0$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=6$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-1}&-\frac{1}{-2-1}\\-\frac{1}{-2-1}&\frac{1}{-2-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\6\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 6\\-\frac{1}{3}\times 6\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\-2\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice y e x.

$$y=2,x=-2$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Aggiungi x a entrambi i lati.

$$y+x=0$$

Considera la seconda equazione. Sottrai 2x da entrambi i lati.

$$y-2x=6$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$y+x=0,y-2x=6$$

Sottrai y-2x=6 a y+x=0 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$y-y+x+2x=-6$$

Aggiungi y a -y. I termini y e -y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$x+2x=-6$$

Aggiungi x a 2x.

$$3x=-6$$

Dividi entrambi i lati per 3.

$$x=-2$$

Sostituisci -2 a x in y-2x=6. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$y-2\left(-2\right)=6$$

Moltiplica -2 per -2.

$$y+4=6$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$y=2$$

Il sistema è ora risolto.

$$y=2,x=-2$$