Risolvi {l}{x-3=y}{37-3x=y}

$$\left. \begin{array} { l } { x - 3 = y } \\ { 37 - 3 x = y } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=10$$

$$y=7$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$37-3x-y=0$$

Sottrai 37 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-3x-y=-37$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x-y=3$$

Aggiungi y a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=y+3$$

Sostituisci y+3 a x nell'altra equazione -3x-y=-37.

$$-3\left(y+3\right)-y=-37$$

Moltiplica -3 per y+3.

$$-3y-9-y=-37$$

Aggiungi -3y a -y.

$$-4y-9=-37$$

Aggiungi 9 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-4y=-28$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$y=7$$

Sostituisci 7 a y in x=y+3. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=7+3$$

Aggiungi 3 a 7.

$$x=10$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=10,y=7$$

Procedura usando le matrici

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$37-3x-y=0$$

Sottrai 37 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-3x-y=-37$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{-1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\\-\frac{3}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3\\-37\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\\-\frac{3}{4}\times 3-\frac{1}{4}\left(-37\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\7\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=10,y=7$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la prima equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$x-3-y=0$$

Aggiungi 3 a entrambi i lati. Qualsiasi valore sommato a zero restituisce se stesso.

$$x-y=3$$

Considera la seconda equazione. Sottrai y da entrambi i lati.

$$37-3x-y=0$$

Sottrai 37 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$-3x-y=-37$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x-y=3,-3x-y=-37$$

Sottrai -3x-y=-37 a x-y=3 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x+3x-y+y=3+37$$

Aggiungi -y a y. I termini -y e y si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$x+3x=3+37$$

Aggiungi x a 3x.

$$4x=3+37$$

Aggiungi 3 a 37.

$$4x=40$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$x=10$$

Sostituisci 10 a x in -3x-y=-37. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per y.

$$-3\times 10-y=-37$$

Moltiplica -3 per 10.

$$-30-y=-37$$

Aggiungi 30 a entrambi i lati dell'equazione.

$$-y=-7$$

Dividi entrambi i lati per -1.

$$y=7$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=10,y=7$$