Risolvi {l}{x^2+y^2=4}{x+y=1}

$$\left. \begin{array} { l } { x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656\text{, }y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656$$

$$x=\frac{1-\sqrt{7}}{2}\approx -0.822875656\text{, }y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\approx 1.822875656$$

Procedura tramite sostituzione e formula risolutiva per equazioni di secondo grado

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=1,y^{2}+x^{2}=4$$

Consente di risolvere x+y=1 di x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=1$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+1$$

Sostituisci -y+1 a x nell'altra equazione y^{2}+x^{2}=4.

$$y^{2}+\left(-y+1\right)^{2}=4$$

Eleva -y+1 al quadrato.

$$y^{2}+y^{2}-2y+1=4$$

Aggiungi y^{2} a y^{2}.

$$2y^{2}-2y+1=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$2y^{2}-2y-3=0$$

Questa equazione è nel formato standard: ax^{2}+bx+c=0. Sostituisci 1+1\left(-1\right)^{2} a a, 1\times 1\left(-1\right)\times 2 a b e -3 a c nella formula risolutiva per equazioni di secondo grado \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 1\times 1\left(-1\right)\times 2 al quadrato.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 2\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -4 per 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-8\left(-3\right)}}{2\times 2}$$

Moltiplica -8 per -3.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+24}}{2\times 2}$$

Aggiungi 4 a 24.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{28}}{2\times 2}$$

Calcola la radice quadrata di 28.

$$y=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

L'opposto di 1\times 1\left(-1\right)\times 2 è 2.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{2\times 2}$$

Moltiplica 2 per 1+1\left(-1\right)^{2}.

$$y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} quando ± è più. Aggiungi 2 a 2\sqrt{7}.

$$y=\frac{2\sqrt{7}+2}{4}$$

Dividi 2+2\sqrt{7} per 4.

$$y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}$$

Ora risolvi l'equazione y=\frac{2±2\sqrt{7}}{4} quando ± è meno. Sottrai 2\sqrt{7} da 2.

$$y=\frac{2-2\sqrt{7}}{4}$$

Dividi 2-2\sqrt{7} per 4.

$$y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$

Ci sono due soluzioni per y: \frac{1+\sqrt{7}}{2} e \frac{1-\sqrt{7}}{2}. Sostituisci \frac{1+\sqrt{7}}{2} a y nell'equazione x=-y+1 e trova la soluzione corrispondente per x che soddisfi entrambe le equazioni.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1$$

Ora sostituisci \frac{1-\sqrt{7}}{2} a y nell'equazione x=-y+1 e risolvi per trovare la soluzione corrispondente per x che soddisfi entrambe le equazioni.

$$x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=-\frac{\sqrt{7}+1}{2}+1,y=\frac{\sqrt{7}+1}{2}\text{ or }x=-\frac{1-\sqrt{7}}{2}+1,y=\frac{1-\sqrt{7}}{2}$$