Risolvi {l}{x+y=90}{x+36=3y}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 90 } \\ { x + 36 = 3 y } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x = \frac{117}{2} = 58\frac{1}{2} = 58.5$$

$$y = \frac{63}{2} = 31\frac{1}{2} = 31.5$$

Procedura tramite sostituzione

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+36-3y=0$$

Sottrai 36 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x-3y=-36$$

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=90$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+90$$

Sostituisci -y+90 a x nell'altra equazione x-3y=-36.

$$-y+90-3y=-36$$

Aggiungi -y a -3y.

$$-4y+90=-36$$

Sottrai 90 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-4y=-126$$

Dividi entrambi i lati per -4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Sostituisci \frac{63}{2} a y in x=-y+90. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=-\frac{63}{2}+90$$

Aggiungi 90 a -\frac{63}{2}.

$$x=\frac{117}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Procedura usando le matrici

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+36-3y=0$$

Sottrai 36 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x-3y=-36$$

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-1}&-\frac{1}{-3-1}\\-\frac{1}{-3-1}&\frac{1}{-3-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{4}\\\frac{1}{4}&-\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}90\\-36\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}\times 90+\frac{1}{4}\left(-36\right)\\\frac{1}{4}\times 90-\frac{1}{4}\left(-36\right)\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{117}{2}\\\frac{63}{2}\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$

Procedura tramite eliminazione

Considera la seconda equazione. Sottrai 3y da entrambi i lati.

$$x+36-3y=0$$

Sottrai 36 da entrambi i lati. Qualsiasi valore sottratto da zero restituisce il proprio negativo.

$$x-3y=-36$$

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=90,x-3y=-36$$

Sottrai x-3y=-36 a x+y=90 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+y+3y=90+36$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+3y=90+36$$

Aggiungi y a 3y.

$$4y=90+36$$

Aggiungi 90 a 36.

$$4y=126$$

Dividi entrambi i lati per 4.

$$y=\frac{63}{2}$$

Sostituisci \frac{63}{2} a y in x-3y=-36. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x-3\times \frac{63}{2}=-36$$

Moltiplica -3 per \frac{63}{2}.

$$x-\frac{189}{2}=-36$$

Aggiungi \frac{189}{2} a entrambi i lati dell'equazione.

$$x=\frac{117}{2}$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=\frac{117}{2},y=\frac{63}{2}$$