Risolvi {l}{x+y=4}{x-y=4}

$$\left. \begin{array} { l } { x + y = 4 } \\ { x - y = 4 } \end{array} \right.$$

Trova x,.y

$$x=4$$

$$y=0$$

Procedura tramite sostituzione

Per risolvere una coppia di equazioni tramite sostituzione, risolvine prima una per una delle variabili. Poi sostituisci la variabile dell'altra equazione con il risultato.

$$x+y=4,x-y=4$$

Scegli una delle equazioni e risolvila per x isolando x sul lato sinistro del segno di uguale.

$$x+y=4$$

Sottrai y da entrambi i lati dell'equazione.

$$x=-y+4$$

Sostituisci -y+4 a x nell'altra equazione x-y=4.

$$-y+4-y=4$$

Aggiungi -y a -y.

$$-2y+4=4$$

Sottrai 4 da entrambi i lati dell'equazione.

$$-2y=0$$

Dividi entrambi i lati per -2.

$$y=0$$

Sostituisci 0 a y in x=-y+4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=4,y=0$$

Procedura usando le matrici

Converti le equazioni in formato standard e poi usa le matrici per risolvere il sistema di equazioni.

$$x+y=4,x-y=4$$

Scrivi le equazioni in formato di matrice.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplicare a sinistra l'equazione per la matrice inversa di \left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Il prodotto di una matrice e del suo inverso è la matrice di identità.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici sul lato sinistro del segno di uguale.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\1&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Per la matrice 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), la matrice inversa è \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), quindi l'equazione matriciale può essere riscritta come problema di moltiplicazione di matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-1}&-\frac{1}{-1-1}\\-\frac{1}{-1-1}&\frac{1}{-1-1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\4\end{matrix}\right)$$

Moltiplica le matrici.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\times 4+\frac{1}{2}\times 4\\\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\times 4\end{matrix}\right)$$

Svolgi l'aritmetica.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\0\end{matrix}\right)$$

Estrai gli elementi della matrice x e y.

$$x=4,y=0$$

Procedura tramite eliminazione

Per risolvere per eliminazione, i coefficienti di una delle variabili devono essere uguali in entrambe le equazioni, in modo che la variabile si cancelli quando un'equazione viene sottratta dall'altra.

$$x+y=4,x-y=4$$

Sottrai x-y=4 a x+y=4 sottraendo termini simili su ogni lato del segno di uguale.

$$x-x+y+y=4-4$$

Aggiungi x a -x. I termini x e -x si cancellano a vicenda, lasciando un'equazione con una sola variabile che può essere risolta.

$$y+y=4-4$$

Aggiungi y a y.

$$2y=4-4$$

Aggiungi 4 a -4.

$$2y=0$$

Dividi entrambi i lati per 2.

$$y=0$$

Sostituisci 0 a y in x-y=4. Poiché l'equazione risultante contiene solo una variabile, puoi risolvere direttamente per x.

$$x=4$$

Il sistema è ora risolto.

$$x=4,y=0$$